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나비에-스톡스 방정식

last modified: 2015-11-14 19:44:46 by Contributors

Contents

1. 모양(...)
1.1. 비압축성
1.2. 압축성
2. 설명
3. 관련 항목

Navier-Stokes Equation

1. 모양(...)

가장 기본적인 형태. 응력과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다.
n_S_001.jpg
[JPG image (6.4 KB)]


1.1. 비압축성[1]

비압축성일 경우 식이 상당히 간단(?)해진다.

먼저 벡터를 사용해서 나타낸 식[2]
n_S_002.jpg
[JPG image (5.25 KB)]


직교좌표에서 텐서를 사용해서 나타낸 식
n_S_003.jpg
[JPG image (8.42 KB)]


텐서는 어려우니까 그냥 스칼라로 씁시다.

뭐라고요??

아, 직교좌표계 말고 구면좌표계가 이쁘지 않을까요?


물론, 구면좌표계보다 원통좌표계가 더 이쁩니다.



살려주세요
이건 착한 위키러들의 머리를 폭파시키려는 음모입니다!!
궭뚫쉙뤩

1.2. 압축성[3]

n_S_009.jpg
[JPG image (9.06 KB)]

비압축성에 비해 항이 좀 더 많아졌다. 스칼라식 풀이는... 이하생략.

생각하는 것을 그만두었다
고만해 미친놈들아
위키러중에 이런 사람들이 있다니
공대가면 교양과목으로 다들 거쳐가는 관문이다(ABET을 실시하는 미국 공학과정에서도 2학년 이전에 지나가는 관문이다).

2. 설명


가르치라는 유체역학은 안 가르치고 외계어 강연을 하고 있다
나비에 스톡스 방정식
유체역학의 가장 기본이 되는 방정식. 공기를 비롯해 우리 주변의 모든 기체와 액체의 운동을 나타내는 방정식이다.[4][5] 프랑스 물리학자 클로드루이 나비에와 영국 수학자 조지 스톡스의 이름을 따왔다.

나비에-스톡스 방정식은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것이다. 이게 편해? 따라서 이 방정식은 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다. 물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙[6]이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스톡스 방정식이다. 때때로 질량 보존 법칙[7]까지 합쳐서 나비에-스톡스 방정식이라고 부를 때도 있다.

기계공학, 항공우주공학 전공 대학생이라면 2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다. 물론 토목공학, 화학공학 등의 유체를 다루게 되는 학과에서도 배울 수 있다. 당연히 수업 내내 헬게이트

u는 유체의 속도, g는 중력가속도, ρ[8]는 밀도, p는 압력, μ[9]는 점성계수, ν[10]는 점성계수를 밀도로 나눈 값, w는 압력을 밀도로 나눈 값, I는 단위행렬, ⊗는 텐서곱을 나타낸다. 비행기가 공중에 뜰 수 있는 것도, 기상청에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 없는있는 것도 이 방정식과 관련이 있다. 이게 증명되면 트리 다이어그램도 레알[11]

문제는... 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다. 이 방정식을 풀기 어렵게 만드는 범인은 위의 방정식의 좌변 두 번째 항( $ \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} $ )으로, 이 항(convective term, 대류를 나타냄)이 비선형[12]이기 때문에 해를 구하기가 어렵게 된다. 게다가 압축성의 경우에는 우변의 응력항도 비선형( $ \mu \nabla^2 \mathbf{u} \rightarrow \mu \nabla^2 \mathbf{u} + {1 \over 3} \mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) , \; \; - \nabla w \rightarrow - \nabla \bar{p} \; \; \; ( \bar{p} \equiv p - \zeta \nabla \cdot \mathbf{u}) $ [13])으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법[14]은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반적인 풀이법이 있는지 없는지조차 아직 모른다... 이 방정식의 일반적인 풀이법[15]을 알아내거나, 존재하지 않음을 증명하는 것은 밀레니엄 문제 중 하나로 100만달러의 상금이 걸려 있다.

우리 주변에 항상 존재하는 공기와 물의 움직임을 기술하는 방정식이기 때문에 밀레니엄 문제 가운데 가장 실생활과 가깝게 연관된 문제이기도 하다. 예를 들면 난류(turbulence) 현상은 주변에서 흔히 볼 수 있고 많이 연구되어 있지만 아직도 학자들은 난류가 정확히 어떻게 나타나는지에 대해 모두 설명할 수가 없다.[16]

어쨌든 이 나비에-스톡스 방정식의 일반적인 풀이법이 알려져 있지 않기 때문에, 유체의 움직임을 예측하려면 슈퍼컴퓨터를 동원해서 이 방정식을 시뮬레이션하여 수치적으로 구하는 것이 유일한 방법이다.[17] 물론 이 방법도 구할 수만 있다 뿐이지, 그 해는 근사치에 불과하기 때문에 전혀 정확한 해라고 보장할 수 없다. 일기예보가 정확하지 않은 것도 기상청에서 근사적으로 구한 해가 실제와 일치하지 않기 때문이다.[18]

푸앵카레 추측격파한증명해낸 희대의 은둔 수학자 그리고리 페렐만이 이 문제에 관심을 가지고 연구중이라는 명확치 않은 소문이 있다. 만약 그게 사실이라면 이 문제도 풀릴 날이 멀지 않은걸까? 하지만 아마 또 100만달러 안받을거야

만화 바텐더에도 잠시 언급되는데 사사쿠라 류의 단골 중 하나인 수학자가 이 나비에-스톡스 방정식의 증명에 상당히 도달 했다는 식의 설정으로 등장한다.

2014년 01월 11일 카자흐스탄 교수 무흐타르바이 오텔바예프(Mukhtarbay Otelbaev)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 러시아어로 발표했으나, 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명되었다. # 너흰 아직 준비가 안됐다!
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  • [1] 대표적으로 액체, 고양이
  • [2] 가끔 ² 대신 로 표현하곤 하는데 같은 뜻이다.
  • [3] 대표적으로 기체
  • [4] 페인트나 우유처럼 나비에-스톡스 방정식으로 설명할 수 없는 유체도 존재한다. 이런 유체들은 점탄성(viscoelasticity)을 가지고 있다고 한다.
  • [5] 유체역학은 연속체역학의 부분집합인만큼, 연속체로 가정할 수 없는 경우(희박기체, 아주 작은 스케일 등)에는 적용되지 않을 수 있다
  • [6] 비압축성의 경우 에너지 보존 법칙은 제외하고 풀기도 한다.
  • [7] 연속방정식이라고 불리기도 한다
  • [8] 그리스 문자 rho
  • [9] 그리스 문자 mu
  • [10] 그리스 문자 nu
  • [11] 단, 트리 다이어그램은 분자 하나하나까지 계산해내는 녀석인데, 불확정성 원리때문에 실제론 불가능하다(...).
  • [12] 1차 연립방정식으로 변형할 수 없는 꼴
  • [13] ζ(그리스 문자 zeta)는 μ와는 별개의 점성계수이다.
  • [14] 대표적인 것으로는 속도가 다른 두 평판 사이의 유동(Couette; 예를 들어 비 올 때 도로와 타이어 사이의 빗물의 유동)나 가늘고 긴 관 속을 흐르는 유동(Poiseuille)이 있다. 이 이외에도 몇 가지의 해석해가 존재하지만, 대부분 매우 느린 유동에 해당한다.
  • [15] 2, 3차 방정식처럼 근의 공식이 있는가. 미적분학에서는 이를 "그린 함수(Green's function)"라고 칭하는데, 고안자인 조지 그린의 이름을 따왔다.
  • [16] 리처드 파인만은 난류가 물리학계에서 가장 중요한 미해결문제라고 말한 적이 있다.
  • [17] 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 2014년 현재 인간이 가진 슈퍼컴퓨터의 능력으로 아주아주 간단한 경우에 한해서 정확한 값을 구할 수 있다. 그래서 정확한 일기예보라던가 하는 것은 당연히 불가능하다. 슈퍼컴퓨터의 발전이 현재 추세대로 진행된다고 하면, 현 세대가 죽기 전에 경비행기 정도의 크기와 복잡성을 가진 문제조차도 정확히 풀 수는 없을 것으로 보인다. 그래서 실제로 비행기 설계나 일기예보에서는 이 방정식을 간단하게 바꾸어 근사값을 구한다. 그래서 CFD를 화려한 꾸밈(ColorFul Design)이라고 비꼬아 부른다
  • [18] 이것이 흔히 나비효과라고 하는, 초기 조건의 미세한 차이가 이후의 결과에 엄청난 오차를 낼 수 있다는 말이 태어난 이유이기도 하다. 대개 이런 미분 방정식을 풀기 위해서는 초기 조건, 경계 조건 등을 주고 여러가지 수학적인 조작을 거쳐 선형화를 한 후 풀게 되는데(결과적으로는 선형 대수 방정식을 푸는 것이다) 유한한 성능을 가진 실제 컴퓨터가 다룰 수 있는 메모리와 연산 시간에 한계가 존재하므로 발생하는 문제이다.
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