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논리학

논리학만큼 재미없으면서도 중요한 학문은 없다.[1]- 윌 듀란트

Contents

1. 개요
2. 광의의 논리학
3. 일상 언어와 논리, 논리학
4. 구분
5. 역사
6. 참고항목


論理學

1. 개요

인류가 만물의 영장이 된 원동력

고틀로프 프레게 이후의 현대적인 관점에서, 좁은 의미의 논리학은 올바른 추론의 형식을 연구하는 학문이다. 아는 척 하려는 좆문가들이 입에 달고사는 말이기도 하다.논리를 주장하지만 논리가 없다.

과거의 논리학과 현대의 논리학을 해석학적으로 통합해 설명하려 한 투겐트하트는 논리학에 개념, , 추론의 세 가지 영역이 있다고 말한다.

(1) A는 B다.
(2) B는 C다.
(3) A는 C다.

이런 세 개의 문장을 놓고 이 세 가지 논리학을 설명해 보자. 각 문장에서 주어와 술어로 쓰이는 A, B, C에 들어갈 단어들의 특징이나 종류를 다루는 게 개념의 논리학이다. 참고로 아리스토텔레스 논리학의 전통에서는 술어로 쓰이는 개념들을 일정한 종류로 묶을 수 있다고 보았고, 이것이 바로 범주(category)다. 그리고 'A는 B다'와 같은 문장의 형식을 다루는 게 판단의 논리학이다. '모든 A는 B다', '어떤 A는 B가 아니다' 등의 다양한 형식이 가능하다(무한판단, 부정판단 등의 용어를 쓴다). 아리스토텔레스부터 프레게 이전까지의 논리학은 이 개념과 판단의 문제도 논리학에 포함시켰다.
프레게 이후의 현대 논리학은 추론만을 다룬다. 이 세 개의 문장에서 (1)과 (2)는 전제, (3)은 결론에 해당한다. 추론이란 전제와 결론 사이의 관계를 말하고, 전제가 결론을 뒷받침하면 좋은 추론이며 그렇지 않으면 잘못된 추론이다. 논리학이란 잘된 추론과 잘못된 추론의 형식을 구별하는 데서 시작한다. 형식만을 다루기 때문에 형식논리학, 기호논리학으로도 불린다.

형식 논리학은 대상이 되는 논증을 어느 수준까지 분석하느냐, 어느 수준까지 양화하느냐에 따라서 나뉜다. 다만 이 구분은 배타적인 것이 아니라 분석 단계가 세밀화된 언어가 보다 세밀하지 않은 언어를 포함한다.(가령 술어논리는 명제논리를 포함한다.) 어느 수준까지 분석하느냐에 따라 형식언어는 명제논리(혹은 문장논리)와 술어논리로 구분할 수 있다. 전자의 명제논리는 문장을 가장 단순한 분석대상으로 삼는다. 따라서 "소크라테스는 지혜롭다. (Socrates is wise.)"라는 문장은 이 언어에서는 P라는 문장문자로 나타난다. 반면 술어논리는 술어와 대상을 구분하며 문장의 하위 단위까지 분석한다. 때문에 동일한 문장이 술어논리에서는 술어를 나타내는 문자 F(~is wise에 해당)와 대상을 나타내는 a(Socrates)로 분석되고 술어논리의 언어에서 이 문장은 Fa로 표현된다. 분석수준이 더 세밀하기 때문에 술어논리는 명제논리가 다루지 못하는 논증들을 다룰 수 있으며(대표적으로 다수의 정언논리의 논증들) 뿐만아니라 명제논리에서 타당한 모든 논증을 다룰 수 있다.

술어논리의 다른 특징은 양화에 있는데, 여기서 양화란 '모든'과 '어떤'에 해당하는 표현을 다루는 것을 말한다. 술어논리에서 '모든'은 보편양화사(∀), '어떤'은 존재양화사(∃)를 사용하여 표현한다. 술어논리는 앞서 설명했듯 문장을 술어와 대상으로 분석하기 때문에 어떤 것 까지 양화할 것인가에 따라서 두가지 종류로 구분된다. 하나는 대상만을 양화하는 것으로 이를 1차논리(first order logic, 줄여서 FOL)이라고 부르며(보통 술어논리라고 하면 FOL을 말한다.) 대상 뿐만 아니라 술어까지 양화할 경우 이를 2차논리(second order logic, 줄여서 SOL)이라고 부른다. 예를 들어 1차논리의 언어에서 "모든 사람은 죽는다."라는 자연언어 문장은 (∀x)(Fx→Gx)로 번역된다. 1차논리와 2차논리의 차이는 2차논리의 표현력이 보다 크다는 점에 있는데, 가령 1차논리로는 "이순신은 좋은 장군의 모든 덕목을 다 가지고 있다."와 같은 문장을 만족스럽게 번역할 수 없다. 2차논리의 경우 이를 만족스럽게 번역할 수 있다. 이러한 2차논리의 표현력은 페아노 공리계의 공리들을 간단하게 서술할 수 있도록 해준다. 왜냐하면 1차논리로 이 공리들을 제시할 경우 수학적 귀납법에 해당하는 공리가 무한하게 많기 때문인데, 2차논리는 이를 술어를 양화함으로써 간단하게 해결해준다. 그러나 2차논리는 완전성이 성립하지 않기 때문에 많은 논리학자들이 표준적인 논리학으로 삼는 것은 1차논리이다.(1차논리에서는 완전성과 일관성이 모두 성립한다. 콰인의 경우 2차논리를 위장된 집합론이라고 폄하하기도 했다.)

2. 광의의 논리학

논리학을 논리적으로 정의하는 것은 논란의 여지가 있다.

물론 엄격한 의미에서의 논리학은 앞에서 말한 형식 연역 논리 만을 말한다. 하지만 광의의 논리학은 '진리를 입증하는 방법'에 포함되는 다양한 영역을 포함한다. 광의의 논리학에 포함되는 것에는 다음과 같은 것들이 있다.

(1) 오류론: 전통적으로 수사학의 범주에 포함될 수 있는 '설득'의 기술에서 사용되는 각종 형식적 비형식적 오류에 대한 연구(성급한 일반화의 오류, 인신 공격에의 오류 등).
(2) 귀납 논리학 : 확실하게 참된 결론을 내릴 수 있는 추론의 형식은 연역(deduction) 뿐이다. 단지 개연성만을 갖고 있는 추론은 귀납(induction)이라고 불린다. 존 스튜어트 밀과 같은 이들이 귀납을 논리학에 포함시켰으나, 논리학을 엄밀하게 규정하는 입장에서는 귀납을 과학철학의 문제로 간주한다(개별적인 관찰로부터 일반적인 명제로 나아가는 방법). 좁은 의미의 논리학에 포함되지 않을 뿐이지, 사실 정말 중요한 건 이 영역의 문제들이다. 확률이나 통계에 대한 철학적 이론보다 현실적인 통계 방법론이 더 중요하다. 단적으로 통계와 확률에 기초한 의학/의료의 문제만 생각해 보라.
(3) 논리학의 확장 1. 양상 논리학 : '필연적이다', '가능하다'와 같은 양상 개념(연산자)을 포함한다. 양상 개념을 포함시킬 경우 공리를 어떻게 설정하냐에 따라 다양한 체계화가 가능한데, 이 체계들을 정리하는 데 큰 공헌을 한 것이 유명한 크립키이다.
(4) 논리학의 확장 2. 다양한 파생 논리학 : 논리학은 '참/거짓(T/F)'를 분명히 말할 수 있는 문장(명제)들 사이의 형식적 연역 추론만 다룬다. 그렇다면 '참/거짓'이 분명하지 않다면? 애매한 값을 다루는 퍼지 논리나 0(거짓)과 1(참) 사이의 값을 다루는 확률 논리, 참/거짓 외에 불분명한 진리값을 다루는 3치 논리 등이 여기에서 출발한다. 양화사와 양상연산자를 포함시켜 확장하는 것처럼 시제(tense)나 윤리적인 의무 개념을 추가해 논리학을 확장할 수도 있다. 최초로 주어진 전제(정보)에만 의존하지 않고 새롭게 주어지는 정보에 따라 새로운 추론을 형성해나가는 논리도 가능하지 않을까? 그렇게 시작된 것이 비단조논리(non-monotonic) 논리이다. 기존의 논리가 일직선에 의해 만들어지는 단조(monotone)의 논리라는 데서 만들어진 이름이다.

참고로, 논리학의 확장과 변형에 대해 그것은 더 이상 논리학이 아니며 '계산'일 뿐이라는 전통적인 관점의 비판이 있다. 그러나 이것을 긍정적으로 받아들여 현대 논리학의 다양한 발전이 수학과 컴퓨터 과학(계산 과학) 등의 발달과 밀접한 관련이 있다는 걸 주목할 수도 있다. 최근의 경향이지만 중급 이상의 논리학 입문서로 사용되는 많은 교재들이 수리논리와 계산이론의 내용을 포함하고 있다.

3. 일상 언어와 논리, 논리학


논리학은 일상 언어에서 가져온 단어(그리고, 또는, 이면 등)를 사용하지만, 논리학에서의 개념과 일상 언어의 뜻 사이에는 상당한 차이가 있다. 예를 들어, 일상언어에서 'A or B'라는 표현을 쓸 경우에는 배타적인 택일(exclusive 'or')을 의미한다. 하지만 논리학에서의 'A or B'(∪ 또는 ∨)는 'A이거나 B이거나, A와 B 모두'의 뜻(inclusive 'or')이다.

더 기묘한 것은 '~ 이면 ~이다'의 조건문이다. "비가 오면 콘서트가 취소될 예정이다"라는 말이 참이라고 하자. 만약 비가 오지 않으면 콘서트는 열릴 것인가, 열리지 않을 것인가? 논리학적으로 생각하면 알 수 없다고 해야 한다. 왜냐하면 p->q는 오직 p이고 ~q(q가 아님을 나타낸다)일 때만 거짓이 되기 때문이다. ~p인 경우는 q이든, ~q이든 상관없이 p->q는 참이 된다. 그러므로 비가 오지 않을 때 콘서트를 취소한다고 해서 전혀 이상할 것은 없다.

한 발 더 나가 보자. '내가 만일 새라면 날아갈 텐데.' 이 문장은 P->Q의 문장으로 (~P∨Q)와 진리값이 같다. 그런데 P가 거짓이므로(난 새가 아니니까), 내가 날아가든 말든 이 문장은 참이 된다. 이런 '비현실적 조건문'은 논리학이 우리의 일상 언어의 사용을 따라오지 못하는 대표적인 사례다. 이것을 해결하기 위해 '가능세계' 개념을 도입하기도 한다. 즉, 저런 비현실적 조건문을 해석하기 위해서는 '내가 새가 될 수 있는 가능 세계'를 전제로 해야 한다는 것이다. 여기부터는 논리학이 아니라 논리학의 형이상학적 해석이 문제가 된다.

보통 논리와 논리학을 같은의미로 사용하는 경우가 많지만, 헤겔같은 경우는 논리와 논리학을 철저하게 구분하여, 논리는 방법론이고 논리학은 그 방법론을 연구하는 학문이라 칭하였다. 따라서, 일반적으로 논리도 논리학도 Logic(독어로는 Logik) 이라 표현하는 것과 달리, 헤겔의 논리학은 제목부터 Wissenschaft der Logik(Wissenschaft 는 학문을 뜻한다.) 이다. 또한, 그에 의하면 논리학은 방법론과 연구대상이 동일한 유일한 학문이다. (논리를 써서 논리를 연구하니까. 그러니까 '논리를 어떻게 연구하나'라는 것은 논리학에 대한 방법론이면서 동시에 논리학의 연구대상이기도 하다!). 수학 기초론을 '수학에 대한 수학'으로 정의해 수학에 포함시킨 다비트 힐베르트의 생각도 같은 논리에 기초하고 있다.

하하하 젠장 이게 무슨 소린지 하나도 모르겠어 아하하

4. 구분

대학에서 배우게 될때 논리학은 크게 두 가지로 나뉜다. 하나는 아리스토텔레스가 세우고 이후 중세까지 사용된 논리학이며, 다른 하나는 현대의 철학에서 사용되는 것으로서 프레게부터 시작된 논리학이다. 아리스토텔레스는 배중율, 모순율 등으로 대표되는 기본적인 논리학을 세웠지만 이것으로 표현하지 못하는 많은 언어적 표현들이 있다.(많은, 어떤 등의 표현이 불가능하다) 반면 프레게의 논리학은 술어 논리라 하여 많은, 어떤과 같은 표현들을 논리학 체계 안으로 포함시켰다. 여기에서 논리학은 완전한 혁명과 재탄생이 된 것이라 해도 과언이 아니며, 이것으로 인해 컴퓨터언어와 같은 것이 만들어질 수 있다. 즉, 프레게의 논리학은 수리 논리학으로서, 이것이 있었기에 현대 수학이 엄밀해 질 수 있었다. [2]

그런데, 프레게 자신은 수학철학적인 문제, 즉 수의 존재를 확고히 하기 위해서 산수를 논리학으로 환원하려 하였는데[3](그래서 그의 주저는 산술의 기초) '러셀의 역설'이라는 흠좀무..스럽지는 않은 쉬운 역설[4]이 발견되어서 그의 주된 계획은 망했다. 다만 그가 만든 체계를 다른곳에서 쓰는 것이다. (논리 체계 안에서 역설이 발견된다면 그 체계에서는 모든 것이 도출 가능하다. 엄밀한 논리학 저서에서는 이것을 피하기 위해서 대상에 집합을 포함시키지 않는다.)

다만, 프레게의 논리학은 일반적으로 대학에서 배우는 것과는 또 다른 고차 술어 논리(양화 논리)이며, 보다 일반적으로 배우는 것은 1차 술어 논리이다. 프레게의 고차 술어 논리는 이미 언어와 논리의 영역을 초월하여 논리학에 적절한 것이 아니라 집합론이라는 비판 역시 존재한다.

현대수학의 아버지라 불리는 데데킨트대에 이르러 현대수학은 기존 수학에서 중심적인 역할을 가졌던 수나 도형같은 직관적 개념들을 완전히 배제하고 순수 논리규칙을 기본으로 삼아 전개해나가기 시작하였는데, 이때문에 현대수학과 논리학의 구분은 20세기 이르러 하나의 떡밥으로 등장하게 된다. 러셀같은 경우는 수학과 논리학은 동일한것이라 주장하였으며, 데데킨트와 프레게같은 경우 수학이 논리학에 포함된다는[5] logicism 을 주장하였다. 그리고, 이러한 논란의 와중에 탄생한것이 수학에서의 직관주의로, 브라우어는 수학과 논리학을 구분하여 수학에서 쓰이는 논리규칙은 달라야 한다고 주장했고, 배중률따위를 거부한 직관주의 논리규칙을 제시하였다. 직관주의쪽의 주장은 언뜻 보면 괴상해보이지만, 자세히 읽어보면 나름대로 상당한 설득력을 갖고있다.[6]

오늘날 이러한 형식논리학을 가장 많이 연구하고 응용하는 분야는 아무래도 컴퓨터 과학(공학이 아니다!)[7]이다. 수학과 철학등의 순수과학쪽은 아무래도 분야도 엄청나게 넓어, 그것 아니라도 할게 많은데다가, 돈이 안되기때문에 대학에서도 그리 밀어주지도 않는다. 반면, 컴퓨터과학쪽은 오늘날 폭발적으로 발달하는 분야인 컴퓨터 공학쪽과 관련이 크며, 분야 자체도 형식논리와 밀접한 관련이 있기때문에 연구가 많이 되고있다.[8]

5. 역사

고대 그리스의 논리적 사유는 엘레아 학파의 제논(1번 항목) 및 로타고라스, 르기아스소피스트 사상가들에게서 그 원류를 찾을 수 있으나, 그것이 일정한 학문으로 정립된 것은 아리스토텔레스에 이르러서다. 후대의 연구자들은 아리스토텔레스가 논리학을 창시할 수 있었던 것은 그의 스승인 플라톤의 영향 덕분이 아닐까라는 의문을 품고 플라톤의 저작들을 샅샅이 뒤졌지만 논리학에 관한 아이디어는 찾아볼 수 없었다고 한다. 즉 아리스토텔레스는 무에서 유를 창조한 것이다! 아리스토텔레스는 그의 논리학 관련 저작들[9]에서 형식 논리학의 기초를 확립했는데, 이때 확립된 형식 논리학의 기본 틀은 거의 2,000여 년간 큰 변경 없이 유지되어 왔다. 그렇지만 아리스토텔레스가 확립한 형식 논리학은 연역법 위주의 논리학이었고, 귀납법은 그 관념만 제시되었을 뿐, 아직 학문적으로 정립되지 않은 상태였다. 귀납법에 바탕을 둔 논리학은 16세기 프랜시스 베이컨에 의해 그 기초가 정립되었고, 이후 19세기 존 스튜어트 밀에 이르러 완성된 형태를 갖추게 되었다.
기호 논리학은 트프리트 빌헬름 폰 라이프니츠에게서 그 기원을 찾을 수 있는데, 라이프니츠는 수학에서 자연수 대신 대수(代數)를 사용하는 것과 같이 논리학 역시 자연언어 대신 기호를 사용할 것을 주장하면서, 논리적 보편언어 및 논리적 연산법의 이념을 제시했고, 이러한 이념은 이후 거스터스 드 모르간지 불에 이르레 체계화되기 시작하여, 스 샌더스 퍼스틀로프 프레게에 의해 발전된 형태를 갖추게 된다. 특히 프레게 및 세페 페아노는 논리학과 수학의 관련성을 지적하면서, 논리학으로부터 새로운 수학을 이끌어내고자 했고, 이러한 그들의 구상은 버트런드 러셀프레드 노스 화이트헤드에 의해 구체적으로 드러나게 된다. 이후 기호 논리학은 일상언어 분석 및 과학적 방법론의 정립으로 그 응용의 범위를 확장시켜 나간다.
한편 헤겔은 변증법을 논리적으로 정립하여 변증법적 논리학을 세웠고, 에드문트 후설상학의 기초가 되는 현상학적 논리학을 제시했다.
동양에서는 고대 중국의 제자백가 가운데 혜시, 등석, 공손룡 등 명가(名家) 사상가들 및 묵가(墨家)에서 논리학적 사유의 원형이 발견되긴 하지만, 형식적 학문으로 정립되는 단계까지 나아가지 못했다. 인도에서는 웃드요따까라 등 니야야-바이셰쉬카 사상가들이 연역법과 유비 추리를 결합시킨 논리학을 정립했고, 디그나가, 샹까라스와민, 다르마끼르띠 등 불교 유식(唯識) 사상가들 역시 논리학에 관심을 두고 깊이 연구하기도 했다.

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  • [1] 대학교에서 기호논리학 강의를 듣게 된다면 이 말을 뼈져리게 느낄 수 있다
  • [2] 다만 이것을 위한 강의를 따로 듣는 경우는 많지 않은데, 보통의 경우 수학자들이 수리 논리학의 전문적인 연구를 알아야 할 필요가 거의 없기 때문이다. 마찬가지로 논리학 및 논리철학의 문제와 개념을 잘 알아야 하는 분석 철학의 전공자라고 하더라도 중급 이상의 논리학을 거의 필요로 하지 않는다.
  • [3] 정확하게 말하자면 집합론을 베이스에 깔아둔 논리학
  • [4] '모든 집합을 원소로 하는 집합은 없다'는 내용이다. 사실, 러셀 이전에도 집합론에 논리적 오류가 있다는것은 칸토어뿐 아니라 상당수 수학자들이 이미 알고 있었지만, 당시에는 논리규칙을 오늘날 현대수학처럼 심각하게 적용하던 시절도 아니고, 당시 집합론 자체도 오늘날 ZFC 처럼 엄밀한 공리에 기초하지 않았었기때문에, 유야무야 하면서 오류가 있던채로 그냥 쓰고 있었다. 역설적이지만, 프레게와 데데킨트가 수학을 엄밀한 논리의 반석 위에 올리려던 시도가 있었기때문에 러셀의 역설이 그만큼 파괴력이 있었던 것이다. 프레게도 러셀의 편지를 받고 첫 반응은 '그래서?' 였다고 한다.
  • [5] 정확히 말하자면, 모든 수학은 결국 논리로 환원이 가능하다는 주장
  • [6] 물론, 현대수학에 대한 지식과 개념이 어느정도 받쳐주지 않으면 논리를 쫓아가기가 쉽진 않다.
  • [7] 기본적으로 과학과 공학을 나누는 기준은 산출물이 '돈'과 직접 연결되는가이다. 컴퓨터는 전부 공학 계열에 속한다.
  • [8] 하지만, 사실 순수 형식논리쪽의 연구결과들은 수학자들에게서 대부분 나온다. 컴퓨터과학쪽의 논리파트 연구교수중에도 수학과 출신들이 많은편. 형식논리를 공부하는데 있어서도 컴퓨터 과학보다는 수학에서 시작해서 배워나가는편이 훨씬 수월하다.
  • [9] 나중에 "Organon"이라는 제목으로 총집된다.
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last modified 2015-04-12 19:05:36
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