E D R , A S I H C RSS

무한대

Infinity,

현대수학에서의 무한대는 무한히 커지는 상태, 무한집합의 원소의 수, 등의 무한한 대상을 나타내는 여러 가지 다른 개념을 의미한다.

Contents

1. (실)수열의 무한대
2. 집합론의 무한대
3. 기타 여러 가지 무한대

1. (실)수열의 무한대

흔히 생각되는 무한대의 개념으로, 소위 말하는 '무한히 커지는 상태'이다. 수열의 항이 어떤 수를 상상하더라도 이보다 언젠가 항상 커지게 된다면, 우리는 이 수열이 (양의) 무한대로 발산한다고 이야기한다. 그 반대의 경우 (어떤 수보다도 언젠가 작아지는 수열의 경우) 음의 무한대로 발산한다고 한다. [1] 무한수열의 합(무한급수)이 (양의) 무한대로 발산한다는 것은 합의 일반항의 수열이 무한대로 발산한다는 의미이다.

무한대는 수가 아니라 '수열의 상태'를 수식하는 개념이고, 따라서 수처럼 취급할 수 없다. 극한과 무한대에 대한 이 정확한 개념이 정립되지 않은 때에는 수렴하지 않는 무한급수를 마치 더하고 뺄 수 있는 것처럼 취급하여 말도 안 되는 실수를 하고는 했다. # 하지만 해석적 확장을 도입하면?

현재에도 무한급수의 계산에서 나오면 피 토하는 수학자 및 물리학자들이 많다. 엘러건트 유니버스의 저자 가라사대, 무한대는 네 이론이 잘못됐다고 신이 내리는 회초리라고.

2. 집합론의 무한대

무한집합의 원소의 수. 그럼 무한집합이 뭐냐는 질문에 도달하는데 어떤 집합에 대해 농도가 같은 진부분집합이 존재하면 무한집합이라 한다. 물론 개수를 하나하나 센다는 느낌으로 접근하는 것은 아니고, 아주 간단히 말하면 함수의 일대일을 통하여 무한집합들의 크기를 비교할 때의 서열을 구분한 것이다.

약간 더 자세히 말하자면 이 개념은 수학자 게오르그 칸토어(Georg Cantor, 1845-1918)의 집합론에서 출발된 것인데, 그는 자연수, 정수, 유리수의 집합은 서로 일대일대응을 줄 수 있지만, 실수집합의 경우는 자연수에서 실수로 가는 전사대응을 줄 수가 없는, 즉 '실수집합의 크기가 더 큰' 것을 증명하였다. 이 기준을 통해 무한집합들에 대해 서열을 매긴 것을 기수(cardinality) 혹은 초한기수(transfinite cardinality)라 부른다. 이 초한기수의 서열은 가장 작은 자연수의 기수인 알레프-0부터 시작해 끝도 없이 이어지므로, 무한히 많은 종류의 무한대가 존재한다는 사실을 알 수 있다. 더욱 자세한 것은 항목을 참고.

독일의 수학가 다비드 힐베르트는 집합론의 무한대가 [2] 갖고 있는 기묘한 성질을 잘 보여주는 하나의 예제를 만들었다. '힐베르트의 호텔'이라고 불리는 이 유명한 예제는 힐베르트가 종업원으로 일하고 있는 가상의 호텔에서 시작된다.

이 호텔에는 무한개의 객실이 있다. 어느 날 한 손님이 호텔로 찾아왔는데 객실이 무한개가
있음에도 불구하고 방마다 모두 투숙객들이 들어 있었으므로 빈 방을 내줄 수가 없었다. 그럼 무한대명에서 73억명을 뺀 남은 사람은 어디서 왔나??

그런데 호텔 종업원인 힐베르트는 잠시 생각하던 끝에 새로 온 손님에게 빈방을 마련할 수 있노라고 호언장담을 한다.

그는 객실로 올라가 모든 투숙객들에게 정중하게 부탁을 한다.

"죄송하지만 손님들께서는 옆방으로 한 칸씩만 이동해 주시기 바랍니다."

이해심 많은 투숙객들은 모두 옆방으로 옮겨 갔으며 자기 방을 못 찾아 헤매는 사람도 없었다.
그리고 새로 온 손님은 비어 있는 1호실로 여유 있게 들어갔다.

이것은 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대임을 말해 주는 좋은 예이다.

그런데 다음 날 밤, 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 방을 모두 점거하고
있는 상태에서 무한히 긴 기차를 타고 온 무한대의 손님들이 새로 도착한 것이다.

힐베르트는 당황하기는커녕, 무한대의 숙박료를 더 받을 수 있다고 혼자서 쾌재를 부른다.

그는 곧 객실에 안내 방송을 내보냈다.

"손님 여러분, 죄송하지만 현재 묵고 계신 객실 번호에 2를 곱하셔서
그 번호에 해당되는 객실로 모두 옮겨 주시기 바랍니다. 감사합니다!"

이리하여 1호실 손님은 2호실로, 2호실손님은 4호실로...... 모두 이동을 마쳤다. 수가 크면 2곱했을때 겁나 멀텐데

자기 방을 빼앗긴 손님이 하나도 없는데도, 어느새 호텔에는 무한개의 빈 객실이 생긴것이다.

힐베르트의 재치 덕분에 새로 도착한 무한대의 손님들은 홀수 번호가
붙어있는 무한개의 객실로 모두 배정되어 편히 쉴 수 있었다.

이것은 무한대에 2를 곱해도 여전히 무한대임을 말해주고 있다. 그럼 무한대의 숙박료를 두 번 받아도 무한대일텐데 안습


그레이엄 수 호실의 손님은 이동하면서 힐베르트를 욕했습니다 그럼 몇만자리 수의 손님은 다음 호실 찾아가다 과로사하지 않나 2배수 호실을 찾아가야 하니 뒷번호 일수록 죽어간다. 1호실은 2호실이지만 1000호실은 2000호실. 단순계산으로 호실간 거리를 3m로 치면 가야되는 거리는 3Km. 경(10^16)단위 호실이라면 거리는 광년과 어깨를 나란히 하는 수준. ~~ ~~에초에 거기에 들어간것도 용하다...

3. 기타 여러 가지 무한대

보다 고급 해석학에서는 무한대의 발산 등을 편리하게 다루기 위해 무한대를 수 체계에 편입시키기도 한다. 확장된 실수(expanded real number) 및 확장된 복소수(expanded complex number) 체계가 대표적. 여기서는 제한적으로 무한대에 대한 일부 연산이 허용되긴 하지만, 수로는 인정하지 않는다.

수학자 콘웨이(John Conway, 1937-)는 게임으로 수를 해석하는 독창적 관점을 제시하였고, 초실수(surreal number)라는 개성있는 체계를 탄생시켰다. 이 수 체계는 무한대(ω) 및 무한소(ε)를 포함하고, 이들을 이용해 2ω, ω-1. ω/2,ω2 ,√ω, 2ε, ε-1. ε/2, ε2 ,√ε , ω+ε, ω-ε 등등의 자유자재로 연산을 할 수 있는 기묘한 체(field)이다. 그런데 신기한 것은, 무한대가 존재하는 이 수체계에서도 '가장 큰 수'는 여전히 정의되지 않는다.

간단히 말하자면, 수인 듯한데 수는 아니지만 수 같은 것 이라고 보면 된다. 당최 뭔 소린지 모르겠다...
한줄요약.끝이 없다.
----
  • [1] 하지만 원래 정확히 떨어지는 값을 표현하기 위해 만들어진 '언어'인 '수식 언어'의 맹점 때문인지, 자연 언어로는 저렇게 말끔하게 떨어지는데도 이 정의를 수식으로 옮기면 표현이 꽤나 복잡해진다. '극한의 수식적 정의'는 지금 이 순간에도 수많은 이과 대학교 1학년 학생들을 엿먹이고 있다. '엡실론 델타 논법'이라고 물어보면 알 것이다.
  • [2] 엄밀하게는 자연수의 초한기수이다.
Valid XHTML 1.0! Valid CSS! powered by MoniWiki
last modified 2015-04-07 15:18:53
Processing time 0.0527 sec