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미분방정식

last modified: 2015-04-01 22:46:43 by Contributors

Contents

1. (일반인을 위한) 설명
1.1. 미분방정식의 의미
1.2. 풀이의 어려움
1.3. 현실에서
2. (이공계인들을 위한) 상미분방정식의 이론
2.1. 일계 미분방정식
2.2. 상수계수 선형미분방정식
2.3. 멱급수법
2.4. 라플라스 변환, 푸리에 변환 등의 적분변환
2.5. 비선형 미분방정식
3. (역시 이공계인들을 위한 )편미분방정식의 이론
3.1. 미분작용소
3.2. 존재성과 정규성
3.3. 대수적 풀이법
3.4. 선형편미분방정식의 기본해(fundamental solution)
3.5. elliptic PDE와 스펙트럼 이론(spectral theory)
4. 관련 문서


Differential Equation
이건 도대체 무엇인가?
미지의 함수와 그 함수의 도함수(미분)들로 이루어져 있는 방정식. 미지함수가 일변수이면 상미분항만을 포함한 상미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)이 되고, 다변수 이상의 미지함수에서 편미분항이 등장하면 편미분방정식(Partial Differential Equation, PDE)으로 불린다.

1. (일반인을 위한) 설명

1.1. 미분방정식의 의미

미분방정식은 연속적으로 변화하는 대상을 수학적으로 분석하기 위한 도구이다. 일반적으로 말하자면 미분은 변화량을 구한다는 의미를 갖고 있다. 따라서 만약 어떤 대상의 변화량을 수학적으로 구할 수 있다면 미분방정식을 세울 수 있고, 이 미분방정식을 풀면 대상의 움직임을 알 수 있다는 이야기.

물리학에서의 운동방정식이 이런 대표적인 예이다. 가속도의 법칙에 따르면 물체가 받는 힘에 비례해 속도(위치의 변화율)가 변화한다. 따라서 물체에 작용하는 힘을 구할 수 있으면, 위치에 대한 미분방정식을 세울 수 있는 이야기. 예를 들어서 스프링에 매달린 물체의 경우 힘은 위치에 비례하므로($F = -kx$, 훅의 법칙), 다음과 같은 운동방정식을 만족한다.
CodeCogsEqn.gif
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위 방정식을 풀면
CodeCogsEqn1.gif
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,
CodeCogsEqn2.gif
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로, 이상적인 스프링에 매달린 물체가 정현파(사인파) 진동을 한다는 것을 알 수 있다. 자세한 풀이는 아래 항목 참조.
유체역학의 운동방정식을 가장 일반적으로 정리하면 나비에-스톡스 방정식이 되고, 이는 7개의 밀레니엄 문제 중의 하나에 속해있는 난제이다.

미분방정식은 물리학 뿐만이 아니라, 변화하는 대상을 다루는 다른 학문들에도 매우 광범위하게 등장한다. 화학에서는 화학반응의 속도를 계산하는 데에 쓰이고, 생물학에서는 먹이사슬에서 생물군집의 개체수 변화를 미분방정식으로 분석할 수 있다. 사회학에서는 인구증감의 이론에서, 경제학에서는 선물(2번 항목) 등의 파생상품의 가격을 계산하는 데에 등장한다. 문과라고 넘어가려면 큰일난다

$ \left\{\begin{matrix} {dx \over dt} = x(\alpha - \beta y) \\ {dy \over dt} = - y (\gamma - \delta x) \end{matrix}\right. $
생물학 전공자가 쓰는 미분방정식의 예. 연립미분방정식의 형태다.

1.2. 풀이의 어려움

이처럼 미분방정식의 활용분야는 어마어마하기 때문에, 미분방정식을 풀 줄 알면 이 세상의 모든 변화를 설명할 수 있다고 해도 과언이 아니다. 물론 어느 누구도 그렇게 하지 못하는 이유는, 미분방정식을 푸는 것이 매우 어렵기 때문이다.

미분방정식에서 함수를 수식으로 떨어지게 나타내는 대수적 해법을 찾는다는 것은, 특수한 경우를 제외하고는 거의 불가능하다. 당장 미분방정식의 가장 간단한 예가 부정적분인데[1], $e^{x^2}$ 같은 함수의 적분도 대수적으로 나타낼 수 없다는 것이 증명된 정도이니. 근대까지 수학자들은 특수한 미분방정식들에 한해 여러 가지 Ad Hoc 해법을 연구하였고, 그 해법은 자신들의 이름으로 불리는 영광을 얻었다.[2]

현대에는 해의 성질을 분석하는 방법을 더욱 많이 쓰는데, 상미분방정식의 경우 풀이법을 아는 경우로 근사시키고 해의 개형을 분석하는 방법이 그런 대로 유효하다. 하지만 이렇게 해도 해들이 불규칙적인 행동을 보인다는 것이 발견되었는데, 이것을 분석하는 것이 카오스 이론. 근래에는 응용수학에서는 컴퓨터를 이용해 해를 수치적으로 계산하는 접근도 많이 발달되었다.

다만 편미분방정식의 어려움은 상미분방정식과 비교를 불허한다. 우선 해가 존재하는지 아닌지 판단하는 것부터가 난문이다. 그 다음에는 해의 정규성(regularity), 즉 조건이 변화할 때 해가 연속적으로 변화하는지를 따지는 것이 최종보스인 경우가 많다. 이를 쉽게 설명하자면, 현실을 바탕으로 세운 미분방정식의 해가 현실적인지 아닌지 판별하는 것도 벅차다는 것... 간단해 보이는 맥스웰 방정식이 전자기학 전공자들에게 왜 헬게이트로 비춰지는지 생각해 보자.

1.3. 현실에서

물리학과 학생이나 공대생들은 분야를 막론하고 지겹게 볼 것이다. 대학교 물리를 잘 하려면, 1학년때는 적분을 잘 하면 되고 2학년때부터는 미분방정식을 잘 풀면 된다고까지 하니... 공업수학에도 당연히 해당된다. 아래 항목을 보면 이들이 배우는 내용의 일부분을 엿볼 수 있을 것이다. 수학과 학생들은 타는 테크에 따라 이를 깊게 파지 않는 경우도 많지만, 대학원 수준에서 해석학이나 이론물리학 쪽으로 나아간다면 엄청 깊게 파고들게 된다.

보통 미분방정식의 이론은 밥먹고 하는 일이 계산이라 불릴 정도로 끝도 없는 계산을 자랑하므로, 주변에 이걸 하는 친구가 있으면 그 끈기에 경의를 표해주시라.

2. (이공계인들을 위한) 상미분방정식의 이론

여기 말고 Kreyszig나 Dennis Zill 공업수학 책을 보는게 좋다.

우선 이 절에 쓰이는 표기법을 정리하자.
미지의 함수 y는 x를 변수로 갖는다.
도함수는 $ y' , y'' , ..., $y^{n} $, 또는 $ {dy \over dx}, {d^2 y \over d x^2} $, ..., 등으로 나타내자. C, C1 등은 임의의 상수. [3]
편도함수는 편미분기호 $ \partial $ [4] 를 사용하거나 ( $ {\partial y \over \partial x} $ 등등), 변수 아래첨자로 나타내자. ∫는 적분기호.
$exp(x) = e^x$ 로 약속한다. 일변수 함수 f, g의 적분은 암묵적으로 F, G 등의 대문자로 표기하자. 복소수가 나올 때 i는 허수단위.[5]
$ d^{2} = d \circ d, \partial^{2} = \partial \circ \partial $ 로 정의한다. 여기서 ∘는 뒤 함수의 결과값을 앞 함수의 입력값으로 받는다는 의미의 함수 합성 기호.

2.1. 일계 미분방정식

일계미분방정식은 도함수 y'가 y와 x의 식으로 주어져 있는 형태이다. 일계미분방정식은 초기값이 주어지면, 국소적으로 해가 항상 유일하게 존재한다는 사실이 알려져 있다.[6] 일반적으로 n계미분방정식은 y(0), y'(0), ..., y(n-1) (0)의 n개 초기값이 모두 주어져야 해가 유일하게 존재한다.

간혹 dy/dx를 분수처럼 조작하여 dx나 dy라는 단독표현을 사용하는데, 이를 엄밀히 이해하려면 미분형식이라는 이론을 동원해야 한다. 수학 전공자가 아니면 '직관적으로 이해하거나' '형식적인 표기일 뿐이라 납득하고' 넘어가자.

  • 변수분리형: dy/dx = f(x)/g(y) 꼴의 경우, f(x) dx = g(y) dy 형태로 바꾼 다음 양변을 적분해 F(x) = G(y) + C 꼴로 바꾼다. 안된다면 u=y/x로 놓고 u와 x에 대한 미분방정식으로 만든 뒤 해보면 된다.

  • 상수항이 포함된 선형: y' + g(x)y = f(x) 꼴의 경우, 함수 h(x) = exp(G(x))를 양변에 곱한다. (G(x) : g(x)의 적분) 그러면 (h(x)y)' = h(x)y' + h'(x)y = h(x)(y' + g(x)y) = h(x)f(x) 가 되고, 양변을 적분해 푼다.

  • 완전형(Exact ODE): N(x,y)dy/dx + M(x,y)=0 을 N(x,y)dy + M(x,y)dx=0 꼴로 썼을 때, (∂M/∂y) = (∂N)/(∂x)이면 이를 완전형이라 한다. 이 때는 ∂f/∂x= M(x,y) 이고 ∂f/∂y = N(x,y)를 인 f를 찾아낸다. (M을 x에 대해 적분하고, y에 대한 상수항을 더해주면 쉽다.) 그 다음에는 식을 d(f(x,y)) = 0 (전미분)로 써서, f(x,y) = C의 형태가 해라고 할 수 있다.

  • 적분인자법 : 식이 완전형이 아니어도(non-exact), 양변에 적절하게 어떤 식을 곱하면 항상 완전형으로 만들 수 있다. 이 어떤 식을 적분인자라고 하는데, 다음 두 경우에
    (1) (My - Nx )/N이 x에만 의존할 경우, h(x,y) = exp( ∫(My - Nx )/N dx )
    (2) (Nx - My )/M이 y에만 의존할 경우, h(x,y) = exp( ∫(Nx - My )/M dy )
    로 잡으면 h가 적분인자가 된다. 위 두 경우에 해당하지 않는다면, 적분인자를 구하는 것이 미분방정식을 푸는 것보다 어려운 경우이다. [7]

2.2. 상수계수 선형미분방정식

상수 ci 들에 대해
y(n) + c(n-1) y(n-1) + ... + c1 y' + c0 y = 0
의 형태이다. 여기에 대응하는 다항식
χ(T) = Tn + c(n-1) T(n-1) + ... + c1 T + c0
을 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 한다. 이 특성다항식이
χ(T) = (T - α1 ) n1 (T - α2 ) n2 ... (T - αk ) nk
로 복소수 범위내에서 인수분해된다고 하면, 각각의 근 αi 에 대해
exp(αi x), x exp(α1 x), ..., x^(ni -1)^ exp(αi x)
의 ni 개들의 함수가 해가 된다. 또한, 이 미분방정식의 모든 해는 이들을 모두 모은 n ( = ni 들의 합)개의 해들의 일차결합으로 유일하게 나타나진다. 만약 근이 복소수
α = r + is
라면 오일러의 공식을 이용해
exp(αx) = exp(rx)(cos(sx) + i sin(sx))
로 처리하고, 일차결합에서 복소수 계수를 허용한다.

예를 들어 위에 소개했던 단진자의 운동방정식
m y'' + k y =0
의 특성다항식은 mT2 + k = 0 이고, w = √k/m 으로 정의하면 특성다항식은 허수해 iw, -iw를 갖는다. 따라서 모든 해는
exp(iwx) = cos(wx) + i sin(wx), exp(-iwx) = cos(wx) - i sin(wx),
의 일차결합, 즉 cos(wx)와 sin(wx)의 일차결합으로 나타나진다. 삼각함수의 합성을 써서
C1 cos(wx) + C2 sin(wx) = C sin(wx + φ)
로 멋들어지게 나타낼 수도 있다.

선형미분방정식에 상수항이 있는 경우, 즉
y(n) + c(n-1) y(n-1) + ... + c1 y' + c0 y = f(x)
꼴의 경우, 이러한 방정식의 해는 (특수해)+(일반해) 꼴로 나타나진다. 여기서 (특수해)란 위 방정식을 만족시키는 특정 해 아무거나, (일반해)란 상수항이 없는 경우, 즉 y(n) + c(n-1) y(n-1) + ... + c1 y' + c0 = 0의 해.

2.3. 멱급수법

미분방정식의 해 y가 멱급수 a0 + a1 x + a2 x2 + ... 꼴로 나타낸다고 가정하고, 미분방정식에 대입한 다음에 계수비교법을 적용해, ai 를 계산하는 방법이다. 계수를 계산하기 쉬운 선형미분방정식에 많이 쓰이며, 프로베니우스 방법(Frobenius method), 베셀 함수(Bessel function) 등에 쓰인다. [8]

2.4. 라플라스 변환, 푸리에 변환 등의 적분변환


라플라스 변환은 다음과 같은 성질이 있다(자세한 사항은 교재를 참고하라)

L(f'(x)) = sF(s)-f(0)(L(f(x))는 f(x)의 라플라스 변환, F(s)는 그 결과 나온 함수)
L(f''(x)) = s^2 F(s)-sf(0)-f'(0)

이를 이용하면 미분방정식이 대수방정식으로 바뀐다!

예를 들어 위에 소개된 스프링 방정식의 경우를 들어 설명한다

y''-ky=0의 양변을 라플라스 변환하면

s^2 Y(s) + k * Y(s) = sf(0)-f'(0)

Y(s) = (sf(0)-f'(0))/(s^2 + k)
이제 Y(s)의 역 라플라스 변환을 구하면 해가 나온다.

이 방법의 단점은 f의 라플라스 변환이 존재하지 않을 경우 무용지물이 된다는 것이다.

2.5. 비선형 미분방정식


비선형 미분방정식은 1계 미분방정식만 풀이방법이 정립되어 있고, 2계 이상부터는 특수한 경우가 아니면 해가 알려져 있지 않다.

예를 들어 다음과 같은 진자의 방정식은 모양은 간단하지만 비선형 미분방정식이다.


(g는 중력가속도, ℓ은 진자의 길이)

이 미방은 연구가 상당히 많이 진척되어 있어 θ의 해집합이 정확하게 알려져 있다. 하지만, 이런 경우는 극히 드물다고 보면 된다.

3. (역시 이공계인들을 위한 )편미분방정식의 이론

표기와 주의사항은 위와 비슷. 단 미지함수는 u, 변수는 x, y, z, t, ...로 쓰자. ODE의 경우와는 또 다르게 대다수의 위키러들은 여기 내용이 필요하진 않을 것으므로, 풀이법 자체보다는 사고방식 위주로 서술한다.

3.1. 미분작용소

기초 ODE에서는 그냥 넘어갔던 미분작용소(differential operator)의 개념이 PDE에서는 매우 중요해진다. 미분작용소의 정의는 미지함수와 편도함수로 이루어진 식이고, 이 식이 편도함수의 선형결합[9]일 경우 미분작용소를 선형이라고 한다. 모든 PDE는 미분작용소 D에 대해 Lu = 0 의 꼴로 쓸 수 있고, 유명한 것으로 라플라스 작용소
$ \Delta u = \nabla^{2} u = \nabla \cdot \nabla u = {\sum_{m = 1}^{n}} u_{m} {\partial^{2} \over \partial {x_{m}}^{2}} $

등이 있다.

이 미분작용소가 선형일 경우가 아주 중요한데, 미분작용소를 선형대수학에서 나오는 선형사상으로 간주할 수 있기 때문이다. [10] 다만 선형 PDE의 해집합은 대부분의 경우 무한 차원 벡터공간이 되므로, 무한차원 벡터공간을 연구하는 함수해석학의 이론이 필요하다.

3.2. 존재성과 정규성

상미분방정식의 경우 국소적 해는 항상 존재했지만, 편미분방정식의 경우는 다르다. 국소적 해마저 존재하지 않는 PDE가 있다는 것을 증명할 수 있을 정도. 코시-코발레프스키 정리(Cauchy-Kowalevski theorem)를 이용하면 일계상미방과 비슷한 조건 하에서 존재성이 증명되는 경우도 있지만, 일관적 접근은 힘들다. 정규성의 경우 보통 함수의 Lp 크기( 간단히 말하면 |u|p 의 적분값) 등 여러 가지 노름(norm)을 제한시키는 방식으로 증명한다. 여기서 수없이 많은 적분부등식이 등장하는 것은 덤.

다만 선형인 경우, 위 두 가지는 어느 정도 보장이 된다.

3.3. 대수적 풀이법

편미분방정식에서 먹히는 대수적 풀이법은 그렇게 많지 않다. 유명한 것은 미지함수 u(x,y,z)를 p(x)q(y)r(z)의 곱으로 두는 변수분리법. 선형이라면 이렇게 구한 미지함수들의 무한합으로 모든 해를 구할 수 있는 경우도 있다. 대표적인 예로 일차원 열 방정식(heat equation, 열의 확산에서 나옴)
ut = uxx
을 제한된 x-구간 0<=x<=1에서 푸는 경우, 변수분리법을 구해 얻은 해 exp(-n2 t) sin(nt), exp(-n2 t) cos(nt)들의 선형결합이 모든 해가 된다.
특성곡선(characteristic curve)법은 일계 유사선형 편미방
aux + buy = c
등에서 써먹을 수 있는데(a,b,c는 u,x,y에 대한 함수), dF(u,x,y) = 0이 되는 F를 어떻게든 찾아주면 된다.

3.4. 선형편미분방정식의 기본해(fundamental solution)

PDE에서도 적분변환, 특히 푸리에 변환은 매우 큰 위력을 발휘한다. 다만 푸리에 변환은 빠르게 감소하는 함수가 아니면 적용하기 힘든 난점이 있다. 함수공간의 범위를 더욱 넓힌 분포함수(distribution)는[11] 디랙 델타함수 같은 대상을 모조리 포함해 버리는 아주 큰 공간이고, 여기서 푸리에 변환을 생각하면 임의의 함수의 푸리에 변환을 생각할 수 있다.

다변수에서도 푸리에 변환의 위력은 여전히 미분방정식을 산술방정식으로(!) 바꾸어 버릴 수 있다. 이 산술방정식을 풀고 역변환하면, 기본해(fundamental solution)라 불리는 LF = δ(x) 을 만족하는 분포 F를 찾을 수 있는데, (δ는 디랙델타) 그러면 Lu = g의 해를 단순히 u = g*F (컨볼루션)로 쓸 수 있다. 아 얼마나 쉬운가! 물론 어려운 것은 이렇게 구한 해가 과연 (분포함수가 아닌) 진짜 함수인가 하는 것이다.

3.5. elliptic PDE와 스펙트럼 이론(spectral theory)

선형대수학을 공부한 위키러라면 임의의 대칭행렬(symmetric matrix)은 실수 고유값을 갖고, 고유벡터들이 정규직교기저가 된다는 스펙트럼 정리(spectral theorem)를 알고 있을 것이다. 선형 미분작용소 중 계수들이 특정 성질을 만족하는 elliptic operator들은 대칭행렬과 비슷하게 볼 수 있고, 스펙트럼 이론을 거의 그대로 적용시킬 수 있다. 어찌 보면 푸리에 해석도 이의 한 예.

4. 관련 문서

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  • [1] 미분방정식 y' = f(x)
  • [2] 프로베니우스 방법, 스텀-리우빌 이론 등등. 여러분도 미분방정식의 해법을 하나 찾는다면, 수학사에 불멸의 이름을 남길 수 있다!
  • [3] 단, 초기값 문제 등에선 값이 정해진다고 생각하자.
  • [4] 델타 소문자의 변형이다. 보통 라운드 라고 읽는다. 라운드 와이 라운드 엑스 라든지.. 라고 알고 있는 사람들이 많지만 사실 d를 둥글게 변형한 것이어서 '라운드 디'라고 읽는 것이 맞다 하지만 빨리 발음하다보니 라운드엑스 라운드와이로 들릴 뿐이다. 원칙적으로는 라운드 디 엑스 라운드 디 와이 라고 읽어야 한다..
  • [5] 전자공학 등에서는 i가 전류의 기호로 쓰일 수 있어 헷갈리기때문에 허수단위 기호로 j를 사용한다. 예를들면 f(t) = exp(-jωt) i가 j로 쓰이는 것 빼고 쓰임새는 같다. 이 글을 보는 위키러는 사원수군/분할복소수(j² = 1, j ≠ 1)를 쓰면 도대체 어쩌라고라는 물음이 생길 수 있는데, 각자 교수에게 물어보도록 하자. 적어도 j를 쓰는 과의 학부과정에서는 사원수군, 분할복소수가 안 나온다.
  • [6] 다만 모든 구간에서 해가 존재한다는 것은 아니다. y(0) = 0, y' = 1/(1+y2 )의 해 y = tan(x)는 구간 (-pi/2, pi/2)에서만 정의된다.
  • [7] 정확히 말하자면 해당 상미분방정식을 푸는 것보다도 어려운 경우이다. 저 적분 인자를 구하기 위해서는 편미분 방정식을 풀어야 한다. 앞에서 말했듯이 편미분방정식은 상미분방정식 보다도 훨씬 어려운데 여기서 풀어야 하는 편미분방정식은 편미분 방정식들 중에서도 어려운 축에 속하는 편미분방정식이다. 배보다 배꼽이 훨씬 더 큰 셈.
  • [8] 프로베니우스 방법에 대한 자세한 설명은 프로베니우스 방법, 영어주의, 참고링크1, 참고링크2 등등 참조.
  • [9] 1차 연립방정식을 일컫는다. 다른 데 같으면 지옥으로 여겨지는 연립방정식이 여기서는 천국이다(...)
  • [10] 물론 ODE에서도 이 사고방식은 유효하다. 다만 기초수준에서 배우지 않는 것 뿐.
  • [11] 간단히 말하면 함수공간의 쌍대공간으로 정의한다. 보통 함수 f는 g -> ∫fg 의 함수, 디랙델타는 g -> g(0) 의 함수 이런 식.
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