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불확정성 원리

last modified: 2015-04-11 14:59:34 by Contributors

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상당한 접전인데요.
전자현미경 관측 들어갑니다.
양자 하나 차이로 3번마가 우승했습니다!
이건 무효야! 관측으로 결과가 바뀌어 버렸잖아!

Contents

1. 잘못된 이해(하이젠베르크의 현미경)
2. 좀 더 자세한 설명
3. 이야깃거리


Uncertainty principle

독일물리학자베르너 하이젠베르크가 제안했다고 알려진 물리학 이론.

수학의 불완전성 정리와는 다르다. 이쪽은 쿠르트 괴델이 증명했다.

가장 대표적인 것으로, 입자의 위치와 운동량은 동시에 어떠한 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것이 있다. 에너지와 시간도 같은 관계이며, 비단 이뿐만 아니라 파동의 형태로 기술할 수 있는 많은 물리량이 이런 관계를 따른다. 이는 물체가 뢰딩거 방정식을 따르며 거동한다면 필연적으로 나타나는 결과이다. 이로 인해 보어의 원자모델은 버려졌다(혹은 개선되었다).

1. 잘못된 이해(하이젠베르크의 현미경)

방 안에 헬륨 풍선이 하나 둥둥 떠다닌다고 해 보자. 방 안은 캄캄한 데다 당신은 안대를 차고 있기 때문에 앞을 전혀 볼 수 없다. 헬륨 풍선을 확인할 수 있는 방법은 손에 있는 막대기를 휘저어서 풍선을 치는 방법 뿐이다. 헬륨 풍선은 매우 가볍기 때문에, 당신이 아무리 세심하게 막대기를 휘두른다고 해도, 풍선을 건드려서 위치를 확인하는 순간 헬륨 풍선은 다른 장소로 날아서 이동하게 된다. 따라서 당신은 헬륨 풍선의 정확한 위치를 알 수 없으며, 단지 어디쯤 존재할 것이라고 추측만 할 수 있다.
즉, 전자의 위치와 운동량을 전자로부터 직접 알아낼 수 있는 방법은 없으며, 이나 다른 입자[1]를 전자와 충돌시켜서 알아내야만 한다. 그런데 빛이나 다른 입자를 전자에 충돌시키는 순간, 전자의 위치와 운동량은 변화하게 되므로 우리는 현재 전자의 위치와 운동량은 알 수 없고, 단지 추측만 할 수 있을 뿐이다.


그러나 이는 불확정성 원리를 쉽게 이해하게 한답시고 그 내용을 완전히 왜곡한 한 예이다. 실제 불확정성 원리는 '관측의 부정확'에 있는 것이 아니다. 막대기가 풍선을 건드려도 막대기가 풍선에 가한 에너지가 0이라 풍선의 운동이 전혀 영향을 받지 않을 상황을 가정하더라도, 풍선의 위치는 주위와 상호작용을 하든 안하든 상관없이 불확정적이다. 즉 풍선의 정확한 위치라는 것이 애초에 우주에 존재하지 않는다. 단, 우리가 막대기로 풍선을 건드리는 순간 파동함수가 붕괴되어 특정한 값으로 풍선의 위치가 관측되는 것일 뿐이다. 사실 이러한 비유로 인해 많은 사람들이 불확정성 원리를 완전히 잘못 이해하고 있으며, 이 예는 아주 나쁜 예라고 할 수 있다. 그럼에도 불구하고 실제로 불확정성이 생기는 이유를 일반인에게 쉽게 설명할 방법이 없으므로 아직도 쓰이는 예이다.[2]

2. 좀 더 자세한 설명

우선 제일 먼저 유의해야 할 것은, 어떠한 '관측'을 할 때, 그러니까 다른 어떤 것과 상호작용을 하면서 물리량 중 하나가 직접 관여하게 될 때는, 심지어는 에너지가 전혀 들지 않는 관측(물리적으로 불가능하지만)을 하더라도 불확정성은 존재한다. 이는 위에 있는 풍선 비유 등의 잘못된 비유로 불확정성을 배운 사람이 받아들이기 힘든 결과일 것이나, 양자역학적으로 예측되는 결과이다.

다른 예를 들어 보자. 어떤 입자의 운동량을 매우 정밀하게 측정해서 위치를 정확하게 알 수 없다고 가정한다. 측정된 위치의 오차가 1m라고 하고 실험 기구의 오차가 1mm라 할 때, 측정할 때 이 입자는 어떻게 보이겠는가? 사람들은 입자가 1m 범위에 뿌옇게 흐려져 있는 상황을 상상하고, 불확정성이 1m이기 때문에 실험기기의 오차가 1mm인 것은 무의미하다고 생각할 것이다. 그러나 이것은 참이 아니다. 실제로는 관측을 하면 실험기기의 오차인 1mm 안쪽의 정밀도로 위치를 알아낼 수 있다. 다만 그 입자가 가질 수 있는 위치의 범위가 1m일 뿐이다. 그러한 상황의 동일한 입자 여럿을 두고 하나씩 꺼낸 다음에 위치를 측정해 보면 그 위치는 1mm 안쪽의 정밀도로 결정되나 분포가 1m에 걸쳐져 있다. 여기서 같은 입자의 위치를 여러 번 측정하지 않는 이유는 실험의 엄밀성을 위해서이다.

서두에서도 언급되어 있듯이, 입자의 위치와 운동량은 동시에 어떠한 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것은 물체가 뢰딩거 방정식을 따르며 거동한다면 필연적으로 나타나는 결과이다.
웨이브패킷: x축 위치, y축 확률
양자역학에서 미시세계의 물질은 이처럼 한 '점'이 아니라 (비교적)넓은 영역에 걸쳐서 확률적으로 존재한다.[3] 여기서 위치(x)의 정확성을 높히기 위해 위치를 파동함수 위의 특정 범위로 제한하고자 한다면, 나머지 영역의 함수값은 버려야 하므로 결과적으로 운동량의 정확도가 제한된다.[4] 반대로 운동량을 더 정확하게 알아내고자 한다면 파동함수에서 보다 넓은 영역을 고려해야 하므로 위치 x는 그만큼 더 불확정해진다.[5] 이는 상술했다시피 미시세계의 물질들이 입자이자 동시에 파동이기 때문에 수학적으로 도출되는 한계이며, 관측장비의 실용적, 또는 물리적 한계와는 무관하다. 불확정성의 "원리"라고 명명된 것도 이 때문.[6]

보다 문과 지향적으로 설명하자면, 사실 '나무를 보면 숲이 보이지 않고, 숲을 보면 나무가 보이지 않는다' 와 같은 이야기다. 어떤 나무(입자)가 숲에서 어디에 위치해 있는지를 보기 위해서는 멀리 떨어져서 숲 전체를 보아야 한다. 그런데 그러면 그 특정한 나무가 어떤 특성(운동량)을 가졌는지에 대해서는 알기 힘들다. 그렇다고 접근해서 그 나무에 대해 측정하면 그 나무의 특성은 알 수 있게 되겠지만, 숲 전체에서 그 나무가 어디에 위치하는 지는 알 수 없게 되는 것이다. 나무와 숲이야 움직이지 않으니 두 관측 결과를 조합해서 숲과 나무에 대해 확정적인 정보를 얻을 수 있겠지만, 불확정성 원리에서 말하는 입자와 파동은 결코 멈추지 않으므로 이 원리를 극복하는 것은 불가능하다.

다시 이과 이야기로 돌아가서... 이러한 관계는 observable a, b에 대응하는 연산자 A, B의 교환자(commutator)가 0이 아닐 때 성립한다.[7] 특히 물체의 상태의 a, b 공간에서의 표현이 서로 푸리에 변환되는 관계를 가지거나, 혹은 동등한 조건으로, 각각의 물리량에 대응하는 연산자 A, B의 교환자가 i*hbar일 때는 gaussian wavepacket을 쓰면 아주 증명하기 쉽다. 이런 관계를 만족하는 observable로는 예를 들면 운동량과 위치 말고도 에너지와 시간 같은 게 있다.
여기까지 정말 어렵게 설명했지만, 힐베르트 공간에 대해서 조금 이해가 있다면 아주 간단하게 표현된다. [X,P]=ihbar. 끝. 이게 무슨뜻이냐면, 자 이제 물리학과 들어가서 3년동안 공부를 합시다.

보통 양자역학을 학습할 때는 파동함수와 슈뢰딩거 방정식에 대해 배운 뒤 불확정성 원리에 대해 배우지만, 실제로 에너지를 양자화할 때 위의 교환자를 사용하여 논리를 전개해도 양자역학의 온전한 모습을 얻어낼 수 있다. 즉, [X,P]=ihbar 하나만 가지고도 양자역학을 전개할 수 있다는 것이다![8]

이것과 E=mc²를 합하면 진공에서 입자-반입자 쌍이 자연적으로 발생할 수 있다는 결론이 나오며, 실제로 일어나는 현상임이 오래 전에 확인되었다. 진공이 가지고 있는 에너지가 정확히 0이 될 수 없기 때문에 최소한의 에너지가 요동한다는 개념이고, 이를 진공 요동(vacuum fluctuation)이라 한다. 진공 에너지와 다르니 유의할 것.

일반인도 간단한 개념은 알아두는 게 좋다(…). 이분법적 사고보다 확률론적 사고가 여러모로 세상 살아가는 데 편할 수도 있으니(…). 다만 이 이론을 "세상은 모두 랜덤이야!"로 받아들이면 매우 골룸하다. 양자 레벨의 미시 세계에서 사용되는 개념이다. 거시 세계와 헷갈리면 곤란하다. 미시계에서 일어나는 일이 거시계의 사건에 영향을 끼치는 것은 엄밀히 말해 맞으면서도 아니다. 이게 무슨 개소린가 싶겠지만 사실이 그렇다. 미시계와 거시계는 모든 이름 붙은 무형의 것과 마찬가지로 필요에 의해 범주가 구분되는데, 미시계에서의 유의미한 사건적 오차가 거시계에 작용하는 순간 이미 거시계적인 사건이고 오차란 게 의미가 없다. 이건 사실 철학 쪽으로 넘어갈 부분이긴 하지만[9]... 괜히 '확률론'적 '결정론'이 대세인 게 아니다. 상충하는 것처럼 보이는 저 둘이 붙어 있는 것 자체가 이상하지 않은가? 왜 저런 일이 벌어지냐면, 아무리 봐도 일상의 거시적 현실은 그냥 17세기 기계적 결정론에서 설명하는 것과 전혀 다를 바가 없기 때문이다. 우리는 무언가 주장하고 설명하기 위해 '논리'라는 것을 신봉하는데, 이것조차도 일반인이 느끼지 못할 뿐 철저하게 기존 결정론에 근거한 발상이다. 그러니 구태여 여태 쌓아올린 전체 학문을 망가뜨릴 필요가 없고, 기성 학문 체계가 유지되는 것이다[10]. 괜히 아인슈타인이 죽기 전까지 인정하지 못한 게 아니다. 스티븐 호킹도 우리가 아직 모르는 부분 때문에 이런 모순이 발생하는 거 아니냐고 언급한 적이 있었고. 펜하겐 해석 이후로도 장 이론이니 뭐니 별별 이론으로 양자적 모순을 통합하려는 노력이 끊이지 않는 이유다. 물론 그다지 가시적인 성과는 없다만.

3. 이야깃거리

한때 문과생들은 이 하이젠베르크의 불확정성 원리를 외워야만 했다. 더욱 황당한 것은 제대로 내용을 이해하지 않고 단지 '인간 오감의 한계는 하이젠베르크의 불확정성 원리로 증명되었다'는 말을 외워야 했다는 것이다. 몇몇 아는 척 하는 지식인들이 하이젠베르크의 불확정성 원리를 주워듣고 이를 인간의 인식(perception)에 대한 한계에 대한 묘사로 써먹기 시작했는데 이게 열풍이 불어서 문과생들은 논술 준비하며 하이젠베르크의 불확정성 원리가 뭔지도 모르면서 하이젠베르크의 불확정성 원리를 외워야 했다. 그러나 이런 잘못된 해석은 비판을 받게 되어 결국 현재는 잘 사용되지 않는다. 대한민국 논술 시험 초기의 흑역사.

2012년 1월 15일에 하이젠베르크의 부등식에 결함이 발견되었다. 위치 오차와 속도 오차뿐이 아닌, 입자의 자전(즉, 스핀)이 미치는 영향(스핀 교란)까지 고려해야 한다는 것. 이에 따르면 특정 성분의 측정 오차가 0에 가까워질 때 다른 성분의 측정 오차가 무한대로 발산한다는 기존 부등식과 다르게 특정 값(1.5보다는 약간 작은 값)에 수렴한다는 의미. 어찌됐든 '하나의 오차는 반드시 생긴다'는 사실은 변함이 없으니 양자역학의 본질이 부정된 것은 아니다. 오히려 하이젠베르크의 부등식으로 인해 할 수 없었던 실험이 가능해져, 양자역학의 새로운 발판으로 평가받고 있다. 세계일보 기사

2012학년도 대학수학능력시험 언어 영역의 비문학독해 - 과학 파트에 불확정성의 원리를 설명한 지문과 문제가 출제되었다. 비트겐슈타인의 논리/철학 논고를 다룬 인문 지문, 조선시대 사대부들의 중국어 표기 방법을 다룬 언어 지문과 더불어 언어 영역의 변별력 확보를 위해 출제된 것으로 보인다. 문과생들은 좌절했지만 이과생들은 웃음 지었다. 그러나 실제로 지문이 그렇게 어렵지 않았기 때문에 문과생이라 하더라도 모두 맞출 수 있는 수준이다. 말 그대로 일반인을 위한 교양과학 수준으로 출제되었다는 소리.이렇게 안 내면 욕먹으니까 그리고 애초에 언어 영역은 그 분야에 배경지식이 좀 있다고 해서 맞출 수 있는 것은 아니다(..) 이과생들에게 친숙한 과학개념이 비문학 지문으로 나올 경우 부담감이 덜어지는 건 사실이나 독해능력이 떨어진다면 말짱 꽝이다. 반대로 문과생들은 정작 글 내용이 어려운 것도 아닌데도 과학공포증에 자폭하는 경우가 많다.[11]

모 소설에서는 이 원리를 우주선의 추진장치로 사용해 버린다. 입자의 위치와 운동량은 동시에 어떠한 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것을 이용하여 어느 물체의 정확도를 엄청나게 낮춰버려 우주의 모든 곳에 있어도 이상하지 않을정도로 이동한다고 한다. 이걸 사용하면 하이퍼스페이스보다 더 빠르게 이동할수 있으나, 여러가지 부작용(원하지도 않았던 승객이 탑승한다던가,[12] 행성의 미래를 바꿔버린다든가, 역사를 바꿔버린다든가 기타 등등)이 있지만, 다 필요없다. 그리고 더군다나 이 방식을 이용하고 정확한 좌표만 알면 어디든지 갈수 있기에, 여러 역장으로 막혀져 있는 곳에 있는 사람, 예를 들어 우주를 지배하는 사람에게 갈수 있는 방법중 하나로 등장한다.

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  • [1] 양자역학에서는 빛도 하나의 입자로 취급할 수 있다.
  • [2] 그 이유 중 하나는 이 원리를 발견한 하이젠베르크가 만든 설명이기도 하기 때문이다. 발견한 사람도 헷갈리는데 일반 대중은....*
  • [3] 물질의 기본 단위가 입자임과 동시에 파동이라는 것은 이중 슬릿 실험 등으로 충분히 증명된 사실이다.
  • [4] 극단적으로 딱 한 점으로 제한하면 운동량은 전혀 알 수 없다. 위의 '잘못된 이해'에서 소개된 예시라던가, '전자는 너무 작아서 위치를 관찰하려고 다른 입자를 쏘는 순간 위치(운동량)가 바뀌어버린다' 따위의 케이스.
  • [5] 극단적으로 운동량을 완벽하게 알아내고자 한다면 수학적으로 위치 x는 전혀 특정지을 수 없다.
  • [6] '원리'는 정의에 의해 사실인 것에 붙는다. 1+1=2가 참인 이유는 +, =라는 부호, 참이라는 개념을 어떻게 정의했냐 때문이지 어떠한 실험적 증거가 있어서 그런게 아니듯이. 즉 양자이론을 받아들이면 불확정성의 원리도 참이라는 결과가 나온다. 괜히 아인슈타인이 '신은 주사위를 던지지 않는다'며 죽을때까지 양자이론을 받아들이지 않은게 아니다..
  • [7] 교환법칙이 성립하지 않는다는 이야기다. 교환자는 [A, B]로 쓰고 AB - BA로 정의하며, 이게 0이 아니면 AB ≠ BA. 행렬의 교환법칙이 성립하지 않는다는 성질을 생각해 보자.
  • [8] 여담이지만, 이와 같은 논리 전개는 입자물리학에서도 사용된다. 에너지 양자화를 시도할 때 두 에너지 상승/소멸 연산자 A,A^T(A+, A-)에 대해서, 보존의 경우 [A+,A-] = 0, 페르미온의 경우 {A+,A-} = 0이라는 조건을 사용하여 에너지를 양자화한다. 여기서 {}는 역교환자(anti-commutator)으로, {A,B} 는 AB + BA로 정의된다.
  • [9] 양자물리학이 발전하면서 한계에 봉착함에 따라 철학도 진지하게 다루는 학자들도 많아졌다.
  • [10] 비유하자면, '양자역학이 등장하였으나 뉴턴역학(고전역학)은 지금도 건재하다'와 같다.
  • [11] 비슷한 경우가 토플, 토익시험 장문독해다. 문학, 역사지문이 나오면 이과생이, 과학사와 기술지문이 나오면 문과생이 열폭.
  • [12] 아서 덴트포드 프리펙트. 다만 불확정성 원리 엔진의 부작용으로 인해 [[그런데 그것이 실제로 일어났습니다|우주로 맨 몸에 쫓겨나서 살아남을 수 있는 시간인 30초가 끝나기 1초 전에 구조되었으며, 그렇게 구조되고 보니 승무원은 다른 남자가 꼬셔서 이 남자를 버리고 따라가버린 전 여친이였고, 주인이자 운전수는 바로 그 꼬신 남자였다(..)]]

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