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삼각함수

last modified: 2015-04-09 19:29:41 by Contributors

Contents

1. 개요
2. 정의
2.1. 직각삼각형을 이용한 정의
2.2. 단위원을 이용한 정의
2.3. 무한급수를 이용한 정의
2.4. 복소평면을 이용한 정의
2.5. 함수 변환표
3. 그래프
4. 주기
5. 극좌표
6. 삼각함수의 여러 공식
7. 미분
7.1. 삼각함수 미분의 육각형
8. 역삼각함수
9. 쌍곡선함수
10. 삼각방정식과 부등식
11. 참고

1. 개요

수학에서 사용하는 에 대한 함수이다. 직각 삼각형의 한 예각 A의 크기 x에 의하여 결정되는 삼각비를 x의 함수로 보고 정의한 함수 및 이것과 대수함수 등과의 합성에 의해서 얻어지는 여러 함수를 말한다.

중학교에서는 삼각비를 직각삼각형에 대해서만 정의하게 되므로 둔각에 대한 삼각함수의 정의가 이상하게 보일 수 있다(한 각이 둔각인 직각 삼각형은 일단 평면상에서는 존재하지 않으므로).

단위원을 이용한 정의나 급수, 미분방정식의 해(예를 들자면, 탄성력을 받는 물체의 위치가 y라면 y''=-ky라는 식이 성립할 것이다. 만약 k가 1이고 y(0)=0, y'(0)=1이라면 y는 sine이 된다.) 등으로 삼각함수를 일반화하여 (정의역을 실수 전체 또는 복소수 전체로 확장하여) 사용할 수 있게 됨을 알고 일반화한 것이다. 쓸모없는거 너무 억지로 만드는 것 같아도 다 은근히 쓰이는 곳이 있다.주로 전문적인 영역에서 그렇다고 하는 게 맞기도 하지만 애초부터 천 명 중 한 명이 유용하게 사용할 가능성이 있다면 그것을 미리 만들어 두는 것이 수학이라고 할 수도 있다.

당신이 대학에 진학해서 수학을 계속 본다면 삼각함수를 애인처럼 옆구리에 끼고 살 확률이 은근히 높다.그리고 삼각함수는 예쁜데? 쉬운 예를 하나 들면 물결 모양의 곡선을 얻기 위해서는 삼각함수가 꼭 필요하다.하지만 고등학교에선 수포자 양산머신에 불과하지

약간 부연하면 이렇다. 기하학에서 원을 다루면서 직각이 나올 때가 많다는 점(예를 들어 반지름과 접선은 수직), 기하학적이면서 좀더 일반적인 정의가 단위원을 이용한다는 점 때문에, 기하학을 수식을 사용하여 접근하면서 원을 생각할 때 삼각함수는 빠짐없이 나오곤 한다. 그리고 위에서 언급했듯이 간단한 미분방정식에 관해서나, 함수 이론에서 삼각함수가 자주 이용된다.(삼각함수의 조합으로 임의의 주기적인 곡선을 표현한다던지. 이른바 푸리에급수이다.)

사인(sine)은 원래 아랍어 jiba에서 나온 것인데 jb라고 약칭된 것을 jaib로 착각하여 라틴어 sinus로 번역하게 된 것이 어원이다. 그리고 코사인은 sine의 complementary라는 뜻에서 cosine이 되었다(그래서 $ \sin ({\pi \over 2} - \theta) = \cos \theta $ 이다)[1]. (많이 사용되지는 않지만) 한자로는 사인을 정현, 코사인을 여현이라 한다. tangent는 접한다(touching)는 뜻의 라틴어에서 유래하였다.

자매품으로 쌍곡 삼각함수(hyperbolic function)를 배우는데, 삼각함수가 원과 연관된다면 쌍곡 삼각함수는 쌍곡선과 연관되고, 둘 다 미분방정식, 함수 이론에서 쓰인다는 점도 비슷하고, 여러 가지 공식이나 성질도 비슷하다.[2] 특수 상대론에서 사용되는 기하학에서 쌍곡함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다.

2. 정의

2.1. 직각삼각형을 이용한 정의

중학교 수학과정에서 정의하는 방법으로, 삼각형의 변을 가져다 썼으므로 삼각비라고도 한다.
trigonometry_triangle.png
[PNG image (6.06 KB)]

우측의 그림과 같은 직각삼각형에 대해
sine, cosine, tangent를 다음과 같이 정의한다.

$ \sin A = {a \over h} $
$ \cos A = {b \over h} $
$ \tan A = {a \over b} $

각 삼각비의 진로를 각각 s, c, t의 필기체처럼 그려놓고 외우는 암기법이 가장 성행한다

그리고 이 함수들의 역수로서 cosecant, secant, cotangent 함수를 다음과 같이 정의한다.

$ \csc A = {1 \over \sin A} = {h \over a} $
$ \sec A = {1 \over \cos A} = {h \over b} $
$ \cot A = {1 \over \tan A} = {b \over a} $

다만 이 경우 직각삼각형의 특성상 정의역이 0 < A < $ {\pi \over 2} $ [3] 로 제한되기 때문에, 정의역을 모든 실수로 정의하기 위해 아래와 같은 단위원 정의가 나왔다.

2.2. 단위원을 이용한 정의

평면에 O를 원점으로 하는 좌표평면에 대해 이 평면 위의 점의 좌표를 (x,y)로 표시하고, x축의 양의 방향에 대하여 각 θ[4]를 만드는 사선 OP를 그어 O를 중심으로 하는 단위원과의 교점을 P라 하면 x좌표를 cosθ, y좌표를 sinθ, OP의 기울기를 tanθ로 정의한다.

trigonometric.png
[PNG image (8.05 KB)]


흔히 말하는 얼싸안고가 단위원 정의에서 생각해보면 당연한 것이다. 단위원에서 x좌표가 양수인 부분이 1,4사분면, y좌표가 양수인 부분이 1,2사분면, 기울기가 양수가 되려면 1,3사분면을 지나야 한다.
(ɔ) Inductiveload from


2.3. 무한급수를 이용한 정의

sinecosine.png
[PNG image (18.53 KB)]


위와 같이 정의하고 tangent와 기타 함수들은 다른 정의와 마찬가지로 정의한다. x에 아무런 수를 넣어도 위의 무한합이 무한대로 발산하지 않는다는 것이 보장되어야 위의 정의가 유효할 텐데, 그 사실은 이미 수학적으로 보장되어 있으니까 마음껏 쓰면 된다.[5]

2.4. 복소평면을 이용한 정의

오일러의 공식에 의해
eulers_formula.png
[PNG image (2.76 KB)]
(i는 허수단위)이므로 이를 정리하면

sinecosinef.png
[PNG image (6.41 KB)]

과 같은 함수가 유도된다.

3. 그래프

각각 sinθ와 cosθ, tanθ, cscθ의 그래프.
© Qualc1 (cc-by-sa-3.0) from

(ɔ) No machine-readable author provided. Ktims assumed (based on copyright claims). from

© Malter (cc-by-sa-3.0) from


4. 주기

실함수 f에 대하여 적당한 상수 k≠0을 잡을 때, f의 정의역에 속하는 임의의 x에 대하여 f(x+k)=f(x)가 성립하면, f를 주기함수라 하고, k를 f의 주기라 한다. 양인 최소주기는 기본주기라고 한다. 삼각함수는 모두 주기함수이며, tan θ, cot θ를 제외하면 기본주기는 2π이다. tan θ, cot θ의 기본주기는 π이다.

한편, tan, cot, csc, sec 함수는 특정 각도에서 0으로 나누는 것처럼 되는 상황(점근선)이 생기는데[6] 점근선의 주기는 tan과 cot의 경우 2-1(2n-1)π, sec와 csc의 경우는 π마다 점근선이 생긴다.

5. 극좌표


좌표평면 위에 원점 O와 다른 점 P를 취하고 벡터 O→P의 길이를 r, O→P가 x축의 방향에 대하여 만드는 각을 θ라고 할 때, 실수의 짝 (r,θ)를 점 P의 극좌표(Polar Coordinate)라고 한다. 같은 점 P의 직교좌표를 (x,y)라면 x=r cosθ, y=r sinθ이다. 원점의 극좌표는 (0,θ)(θ는 임의의 각)라고 한다.

극좌표에 차원 하나를 더해서 z축 방향으로 잡아 늘리면 원통좌표계(Cylindrical Coordinate)가 된다. ((x, y, z) => (r,θ,z), x=r cosθ, y=r sinθ, z=z.) 직교좌표를 극좌표로 만드는 것 처럼 극좌표에서 높이를 각도로 정의한 것은 구좌표계(Spherical Coordinate)가 된다.

수직으로 보기 좋게 떨어지는 직교좌표를 굳이 극좌표나 구좌표 같은 또다른 좌표계로 바꾸는 이유는 회전 운동이나 모든 방향으로 대칭적인 움직임/변화 등을 기술할 때 직교좌표를 쓰면 조금만 복잡해져도 기술하기가 지랄맞기 때문이다. 예를 든다면 지구 표면 근처에서의 위치를 직교좌표 3개로 쓰는 것보다는 위도, 경도, 고도로 표현하는 것이 편리하다는 것이 있다.

슬슬 "좌표"란 단어의 의미가 이정도로 붕괴하면 임의곡선모양의 축이라거나 모든 성분=0인 원점이 없고 기준점만 있는 좌표계도 있다니 곤란하다

6. 삼각함수의 여러 공식

삼각함수에 관한 거지같은공식은 많으나 특히 중요한 것은 cos θ와 sin θ에 관한 공식들이다.[7]

  • sin2 θ+cos2 θ=1

  • sin (α±β)=sin α cos β±cos α sin β / cos (α±β)=cos α cos β∓sin α sin β ( 삼각함수의 덧셈정리)

  • e = cos θ + i sin θ (오일러의 정리)
    • e + 1 = 0 (오일러의 등식)
    • (e )n = (cos θ+i sin θ)n =cos nθ+i sin nθ(i는 허수 단위)(드무아브르의 정리)

  • sinA+sinB=2sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}
  • sinA-sinB=2cos{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}
  • cosA+cosB=2cos{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}
  • cosA-cosB=-2sin{(A+B)/2}sin{(A-B)/2} (삼각함수의 합차공식)

  • sinAcosB=1/2*{sin(A+B)+sin(A-B)}
  • cosAsinB=1/2*{sin(A+B)-sin(A-B)}
  • cosAcosB=1/2*{cos(A+B)+cos(A-B)}
  • sinAsinB=-1/2*{cos(A+B)-cos(A-B)} (삼각함수의 합차공식의 역)

  • cos4 < cos1

7. 미분

삼각함수미분.png
[PNG image (16.63 KB)]


7.1. 삼각함수 미분의 육각형

삼각함수미분육각형.png
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그림560.png
[PNG image (6.26 KB)]
마주보는 꼭지점이 서로
역수관계인 것이 특징.

위 삼각함수 미분 공식을 쉽게 주입시키기외우기 위해서 고안된 육각형이다. 마주보는 꼭지점이 서로 역수관계이다. (cscx=1/sinx, secx=1/cosx, cotx=1/tanx) 가운데에 그어진 선은 +,- 경계선이다.

이 육각형을 사용하려면 먼저 미분하려는 함수가 속해 있는 +,- 부호를 확인한다. 그리고 미분하려는 함수에서 시작하는 화살표로 가는 함수를 모두 곱한다. (이 때 이중선은 제곱하라는 뜻이다.) 이 과정을 그림으로 예를 들어 보이면 다음과 같다.

그림561.png
[PNG image (12.89 KB)]
그림562.png
[PNG image (13.25 KB)]
그림563.png
[PNG image (13.11 KB)]
cosx 미분 tanx 미분 cscx 미분
cos이 속한 부호 : - tan가 속한 부호 : + csc가 속한 부호 : -
화살표 : sin 화살표 : sec, sec 화살표 : csc, cot

8. 역삼각함수

cosθ의 치역은 구간 [-1,1]인데 임의의 x∈[-1,1]에 대하여 cosθ=x가 되는 θ 값은 무수히 많다. 그러나 θ의 변역을 [0,π]에 제한하면 cosθ=x, 0≤θ≤π를 만족하는 θ는 오직 하나뿐이다. 이 θ를 θ=arccosx=cos-1 x 로 나타내고 함수 x → θ를 역코사인함수라 한다. 역사인함수와 역탄젠트함수도 마찬가지로 정의된다.

9. 쌍곡선함수

쌍곡선함수에는 sinh, cosh, tanh, csch, sech, coth가 있다. 뒤에 붙은 h는 hyperbolic의 약자이다. sinh, cosh, tanh의 정의는 다음과 같다.

쌍곡선함수.png
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sinh는 sin처럼 기함수(원점대칭)이며 cosh는 cos처럼 우함수(y축대칭)이다. csch, sech, coth도 삼각함수처럼 각각 sinh, cosh, tanh의 역수이다.

보이다시피 쌍곡선함수는 삼각함수는 아니고 지수함수로 만들어진 함수이다. 하지만 삼각함수와 상당히 유사한 성질을 지닌다. 삼각함수의 이복동생이다 일례로, 쌍곡선함수의 미분을 보면 삼각함수와 비슷하다는 점을 알 수 있다.

쌍곡선함수미분.png
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쌍곡선함수미분육각형.png
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쌍곡선함수의 미분 쌍곡선함수 미분의 육각형

때문에 쌍곡선함수 미분의 육각형도 위 항목의 삼각함수 미분의 육각형과 매우 흡사하다. 유일한 차이점은 삼각함수 미분의 육각형에서 +,- 경계선이 시계방향으로 60도 기울었다는 점이다.

10. 삼각방정식과 부등식

삼각함수의 그래프를 이용하여 정해진 값에 해당되는 미지수의 값을 구하면 된다. 사인과 코사인이 같이 주어지는 경우 공식을 이용해 한 종류의 삼각함수로 고쳐야 하는데 그게 상당히 복잡하다.

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  • [1] 오히려 사인과 코사인을 삼각비로 정의한 다음에 사인과 코사인 사이에는 이러한 관계가 있다는 식으로 표현을 많이 하지만, 이 식에서 코사인이 태어나게 되었다.
  • [2] 그리고 복소수를 배우면 더 연관된다
  • [3] 90˚
  • [4] 여기서 θ의 단위는 일반적으로 사용하는 ˚도가 아니라 rad 라디안이다. 1rad의 정의는 부채꼴의 호와 반지름이 같을 때의 내각이다.
  • [5] 물론 수학을 전공한다면 어떻게 보장되는지를 알아야 할 것이다. 사실 대학 1학년 때 멱급수 이론만 배워도 다 알지만.
  • [6] 0으로 나누는 상황이 아니다. 상식적인 사칙연산을 유지한다면 0으로 나누는 것은 불가능해야 하고, 0으로 나누는 것을 생각한다면 그것은 상식적인 사칙연산이 아닌 새로운 연산을 도입한다는 의미가 된다. 그런 게 유용한 상황이 없지는... 않겠지만 흔히 있는 경우는 아니다. 대체로 기하학적인 연산을 새로 도입해서 활용하려고 할 때 0으로 나누는 것을 도입해 보곤 한다. 이 때의 연산은 사칙연산과는 약간 다른 연산.
  • [7] 아마 학창시절에 학원이나 학교에서 '사코코사'등의 명칭으로 외운 사람들이 많을 것이다.
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