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선형대수학

last modified: 2015-04-06 10:45:16 by Contributors

Linear Algebra

Contents

1. 개괄
2. 공대생들은
3. 수학과 학생들은
4. 선형대수학의 주제들

1. 개괄

선형 구조를 갖고 있는 벡터공간(vector space)과 그 위의 함수인 선형함수(linear map)[1]에 관한 학문. 줄여서 선대라고도 한다.

선형대수학의 벡터(vector)는 2차원이나 3차원에 그릴 수 있는 벡터뿐만이 아니라, 덧셈/뺄셈과 실수배(혹은 복소수배)가 가능한 추상적인 대상들로 정의된다. 예를 들어 n개의 실수의 순서쌍에 성분별로 덧셈과 실수곱셈을 주면[2] 이는 "n차원" 벡터공간이라 할 수 있고, 이를 Rn 이라 한다. 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈과 수의 곱셈을 보존하는 함수를 선형사상이라 하는데, 그 정체는 행렬이다.[3][4]

어떻게 생각하면 선형대수학은 고교 과정인 고급 수학 I의 '행렬'과 기하와 벡터의 '벡터'를 일반화시켜 어렵게 배우는 것"이라고도 볼 수도 있다. 벡터공간의 구조만을 본다면 그다지 복잡하지 않은 것은 사실이다.[5] 하지만 선형사상으로 넘어간다면 그 성질은 놀랍게 풍부해지고, 군론이나 표현론의 영역까지 들어갈 정도로 수준이 높아지면 우주의 신비를 연구하는 수준이 되어버린다. 녹록하지만은 않은 과목이다.

선형대수의 진가 중 하나는 거의 모든 수학과목의 토대가 되는 범용성이다. 미적분학에선 변수가 조금만 많아져도 선형대수학이 튀어나오고, 기하학에선 거의 모든 공간을 선형대수학의 Rn 으로 근사시켜 연구한다. 함수들을 벡터로[6] 생각한다는 사고방식은 미분방정식의 이론과 푸리에 해석으로 발전한다. 물리적 상태들을 고차원 추상적 벡터로 나타내고, 이들의 선형적 중첩을 생각하는 양자역학의 기초가 되는 것은 당연

자연과학이 아닌 분야에서도 등장하는데, 통계학에서 복합적 자료들을 다루는데 필수로 쓰이고[7], 심지어는 이산적인 대상을 다루는 암호론이나 부호 이론(coding theory)에도 매우 중요하게 쓰이는 도구이다. 0과 1로 이루어진 벡터공간이라니 상상이나 되는가 즉 선형대수학은 모든 수학과 공학의 뼈대라고 보아도 부족함이 없다.

2. 공대생들은

(수학과 입장에서) 공대 과목의 꽃. 알파와 오메가.
당장 공대생인 당신이 선형대수를 모른다고 하면 거짓말이다. 왜냐면 이미 알게모르게 쓰고 있었을 거니까.

공학수학의 선형대수 과정은 주로 행렬에 초점이 맞추어져 있다. 기저(basis)의 개념, 행렬의 계수(rank)/행공간(column space)/영공간(null space), 연립방정식의 풀이, 행렬식(determinant), 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector) 까지는 공통된 내용이지만, 여러 decomposition [8]과 Jordan normal form의 실제 계산 등은 수학과에서는[9] 잘 가르치지 않는 부분이다. 주로 행렬을 간단히 나타내고 쉽게 계산하는 방법에 초점을 맞추게 된다.

개념적인 부분은 주로 basis에 치중되어 있으므로 만약 증명을 처음부터 끝까지 이해하고 활용할게 아니라면 오로지 계산이 어떻게 되는지만 알아도 무방하게 느껴질 과목이다. 당장 그렇게 사용할 수 있으니까. [10] 그렇지만 (모든 수학 과목이 그렇듯이) 기본적인 개념이 잘 확립되지 않으면 '난 이 작업을 손으로 할 수 있어. 컴에 때려넣으면 1초면 끝나지만.' 정도로 요약이 된다.

하지만 이 과목의 중요성은 모든 공대 과목의 계산이 앞으로 행렬로 이루어진다는 데에 있다. 변수가 2개 이상인 형태의 식 중에 행렬이 안들어가는 계산이 있다면 그건 고등학교 수학이라고 봐도 무방할 정도로. 당장 당신이 미분방정식을 풀어야 하는데 변수가 2개 이상에 해당하는 ODE다. 어떻게 풀까?

지금 이걸 읽고있는 위키러가 공대생이라면, 다른 수학과목은 몰라도 꼭 선형대수는 들어보기 바란다. 비록 어렵겠지만, 나중에 분명 도움이 될 것이다. 아니면 공과 계열 수학과목에서 선형대수 파트를 꼭 잘 공부하기를 바란다.

3. 수학과 학생들은

해석학과 함께 처음으로 배우는 진짜 수학.[11] 여기서 '진짜'라는 의미는 직관적인 수준을 넘어, 논리의 영역으로 들어선다는 의미이다. 고교때까지는 어려워봤자 계산이 복잡했을 뿐, 어디까지나 그 대상은 직관적인 수와 도형정도로 한정되었지만, 선형대수학부터는 벡터가 더이상 당신이 직관적으로 상상하는 고전물리학의 그 벡터가 아니게 된다. 선형대수학에서 벡터공간이란, 단순히 그 정의를 만족하는 모든 오브젝트가 될 수 있으며, 벡터는 그 벡터공간의 원소일 뿐이다. 모든 R->R 함수의 집합에도 역시 연산자를 정의하여(보통 componentwise) 벡터공간으로 만들 수 있고, 이렇게 되면 각각의 f:R->R 함수가 해당 벡터공간의 벡터가 된다. 그리고, 이 벡터공간에서 연속함수만을 추출하여 부분벡터공간을 그 안에 만들수도 있고, 거기서 다시 미분가능한 함수를 추려내서 연속함수공간의 부분공간을 만들수도 있다. 즉, 수학과 커리큘럼중 고교수학적 직관과 현대수학적 논리가 격하게 충돌하는 첫번째 과목이고, 추상적 개념과 엄밀한 증명의 사용을 연습하는 장이 된다. 어떤 과목을 배워도 밑바닥에 깔고 시작하는 기본과목이라는 점에서도 해석학과 똑같다. [12]

수학과의 선형대수 과정은 추상적인 대수적 개념들과 선형함수를 먼저 배운 후에[13], 한참 나중에 학생들에게 친숙한 개념인 행렬과의 연결고리를 보여주는 방식을 취하는 경우도 많다. [14] 공학수학쪽에서 다루지 않는 개념으로 dual space와 bilinear form, invariant space 등등이 있지만, 기본 커리큘럼 이후에는 교수의 재량에 따라서 얼마든지 '이상한 진도'를 뺄 수도 있다. 실제로, 선형대수는 차후 배우는 거의 모든 수학분야에서 베이스로 깔고 들어가기때문에 맘만 먹으면 얼마든지 고급 예시나 개념을 끌고들어와 학생들을 멘붕시킬 수 있는 강력한 과목이다. 이런경우, 전반적으로 계산보다는 대수적 개념이해에 치중하는 것이 특징. 수학과 학생한테 계산문제 풀어달라고 하지 말자. 계산은 공대/물리학과쪽이 더 빠삭한 경우가 많다. 하지만 공대생도 계산기쓰잖아 아마 안될꺼야

입문 과목으로서의 선형대수학은 본격적인 대수학의 시작으로서 매우 중요하다. 대수학에서 배우는 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 '대수적 구조'들 중 대부분은, 보통 벡터공간에서 성립하는 많은 성질들을 변형된 형태로 가지고 있다. 이는 대수적 구조 중 가장 쉬운 성질을 갖고 있는 것이 벡터공간이기 때문이다. 대수학을 공부한다면 선형대수의 증명 테크닉은 끝없이 반복되어 나타날 것이다. [15]
하지만 테크닉보다도 중요한 것은, 대수학의 사고방식을 체득하는 것이다. 대다수의 대수적 구조들은 "구조가 주어진 집합"와 "구조를 보존하는 함수"의 쌍으로 정의된다. [16] 많은 경우에 이들을 다루는 방법은 놀랄 만큼 비슷하다. 특히 사상과 관련해서 선형사상에 적용된 kernel과 image, isomorphism 등의 주제는 모든 대수적 구조에 대해 일반화되는 개념이고, 이들을 이해하는 것은 학부대수학의 목표 중 하나이다. 그리고, 거의 모든 수학분야에 공통적으로 퍼져있는 이런 양상은 Category theory 로 귀결된다. 실제로, dual space 를 설명하기 위해 Category 와 Functor 개념을 도입하는 교수도 있다.주객이 전도된것같은데

보통의 수학과 학생들은 여기서 선형대수학의 공부를 멈추지만, 선형대수학이 여기서 끝나는 것은 아니다. 행렬의 (혹은 선형사상의) 과 그 공간에의 작용을 탐구한다고 볼 수 있는 표현론(representation theory)은 현대수학 전반에 자리잡고 있는 테마 중 하나. 사람에 따라서는 수학에서도 선형대수학이 알파이자 오메가라 해도, 아예 틀린 말은 아닐 것이다.

4. 선형대수학의 주제들


어느 선형대수 과정에나 기본적으로 들어가는 주제들.

  • 벡터공간: 좌표공간(Rn , Cn ), 추상적 벡터공간, 기저(basis), 차원(dimension)
  • 행렬: 행공간/영공간/계수, rank-nullity theorem, 추상적 선형함수(linear map)와의 동치성
  • 연립일차방정식의 풀이: 가우스-조르단 소거법(Gauss-Jordan elimination), 기약행 사다리꼴 형식(row-reduced echelon form)
  • 행렬식(determinant), Cramer's rule, 소행렬식(minor)과 adjugate
  • 고유벡터와 고유값, 특성다항식(characteristic polynomial), 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton Theorem)[17]
  • 내적공간(inner product space), Gram-Schmidt 직교화 알고리즘, 직교행렬(orthogonal matrix)

공학수학 또는 수치해석 과정에 들어갈 수 있는 내용.

  • 삼각화(triangulization), 행렬의 여러 분해방법, Jordan normal form의 계산
  • 행렬 미적분학(matrix calculus)[18]
  • 선형미분방정식, 마르코프 연쇄(Markov Chain) 등으로의 응용

주로 수학과에서 앞에 말한 '이상한 진도'를 뺄 때 나오는 내용들.

  • 벡터공간: 상공간(quotient space)과 동형정리(isomorphism theorem), 직합(direct sum)
  • 작용소의 분석: 불변 부분공간(invariant subspace), 분해정리(decomposition theorems), rational canonical form과 Jordan normal form의 존재성
  • Multilinear algebra: 텐서곱(tensor product), symmetric and alternating algebra, dual space 와 bilinear form
  • 정규행렬(normal matrix)의 스펙트럼 정리(spectral theorem), 대칭행렬과 직교행렬로의 응용
  • 이차형식(quadratic form), 선형군(linear group), 직교기하와 심플렉틱 기하 등등
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  • [1] 쉽게 말하면, 1차 연립방정식 같은 것
  • [2] 즉 (a1 , a2 , ..., an ) + (b1 , b2 , ..., bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , ..., an + bn )과 c (a1 , a2 , ..., an ) = (c a1 , c a2 , ..., c an )
  • [3] 수학과 선형대수 첫학기때 배우는 가장 중요한 부분이 바로 선형함수의 집합과 행렬의 집합은 구조가 동일하며 1:1 대응이 되어 언제든 서로 바꿔쓰는게 가능하다(isomorphic)는 점이다. 소위 선형대수학의 기본 정리(Fundamental theorem of linear algebra).
  • [4] 역으로 말해서 "행렬의 곱셈은 왜 이렇게 이상하게 정의되었나요?" 라는 의문을 풀어주는 것이 바로 이 선형대수학이다. 선형함수를 알기 쉽게 나타낸 방법이 행렬이고, 행렬의 곱셈은 선형함수의 합성을 쉽게 나타내기 위해 디자인된 것 뿐. 이유없이 외워온 독자들이 주객이 전도되었다고 분통을 터뜨리는 것은 당연할 것이다.
  • [5] n차원 벡터공간은 Rn 과 구조가 같다. 즉 isomorphic하다.
  • [6] 상식적인 덧셈과 스칼라배에 대해서
  • [7] 문/이과 통틀어서 대학원에서 논문을 쓰는 데에 통계분석이 조금이라도 나온다면, 선형대수를 모르면 골치아픈 경우를 겪게 될 수 있다. 경제학과나 경영학과는 물론, 사회학과, 행정학과 등의 전공에서도 만날 가능성이 있다.
  • [8] LU decomposition, cholesky decomposition, schur decomposition, singular value decomposition 등등
  • [9] 수치해석을 제외하면
  • [10] 하지만 개념적인 부분도 무시해서는 안될 게, 특히 푸리에 해석에서 기저와 내적(inner product)에 대해 눈꼽만큼이라도 이해를 하고 있다면, 정말 비교가 안 되게 쉬워진다.
  • [11] 물론 수학의 기준은 집합론이지만 그 추상성과 난해함으로 인해 학사때는 ordinal/cardinal 파트를 살짝 훑는것 외에 제대로 배우기가 힘들다.
  • [12] 다만 주로 해석학 계열 과목에서만 나타나는 실해석과는 달리, 선형대수는 현대대수, 대수기하 등의 대수학 테크와 미방, 미기, 복소해석, 함수해석 등의 해석학 테크에서 모두 필요하다는 것이 차이점.
  • [13] 행렬에서 사용하는 행공간(column space), 영공간(null space) 등의 말이 선형사상의 핵(kernel), 사상(image) 이런 식으로 둔갑하게 된다.
  • [14] 덕분에 행렬이 등장하기 전까지 어두컴컴한 추상의 세계에서 헤메이다가 행렬이 등장하는 시점에 가서야 지금까지 배웠던게 무엇인지 깨닫는 경우가 많다. 일부러 극적 효과를 노리고 이런 방식을 선호하는 변태교수들도 있다. 이런 식으로 행렬의 도입을 늦추는 교수를 만날 경우, 입-델로 유명한 해석학에 비해 오히려 난해하게 느끼는 학생도 많다.
  • [15] 군의 준동형사상(homomorphism)과 선형사상(linear map), 부분군(subgroup)과 부분공간(subspace)의 유사성 등등을 예로 들 수 있을 것이다.
  • [16] 벡터공간과 선형사상, 군과 준동형사상, 위상(topology)와 연속함수 등등으로.
  • [17] 고교과정의 그 2*2 행렬 정리가 아니다! 자세한 것은 항목 참고.
  • [18] 벡터나 행렬에 '대한' 미분을 다루는 괴상한 내용.
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