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수치해석

last modified: 2014-10-06 22:17:43 by Contributors

Numerical Analysis

수학과 과목의 아웃사이더
중고등학교때 확률 문제 나오면 모든 경우를 일일이 그려서 풀던 사람들이 좋아할 만한 과목
수학과 과목 중 계산과 알고리즘에 치중하는 몇안되는 과목. 선형대수 이론의 수치적 계산, 방정식의 수치해 계산, 미분방정식의 수치해 계산 등 지금까지 다뤄진 이론의 계산 방법을 다루는 과목이다. 만약 이 학문의 발전이 더뎠다면 지금 당신이 쓰고 있는 컴의 발전 역시 없었을 것이며, 계산이 필요한 수많은 분야의 발전 역시 더뎠을 것이다.[1]

수학과 학부 레벨에서 개강은 되지만 의외로 이 과목의 진의를 강의를 들으며 깨닫는 사람은 그리 많지 않다. 여러가지 이유가 있지만 크게 보면,
(1) 수치해석을 들을 즈음에는 사람들이 추상화된 개념에서 세워진 정의와 명제를 바탕으로 논리적인 추론을 통한 증명에 이미 익숙해진다. [2]
(2) 이 학문의 필요성에 대하여 쉽게 피부로 느끼지 못하는 까닭이다. 계산하는 방법을 신나게 다루면서 손으로 예제를 풀려고 하면 매우 단순한 경우만 보게 된다. 실제로 프로그래밍을 해본다던가, 적어도 패키지를 써보지 않으면 단순 계산 노가다일 뿐이다.
(3) 강의의 흐름상, 계산을 중점적으로 다루게 되므로 방법만 안다면야 금방 따라하게 되는 것 또한 수치해석을 단순하게 생각할 수 있다.
(4) 왠지 모르게 수학과의 사파 과목처럼 느껴지는 것도 사실이다. (당신이 순수 수학의 추상성에 흠뻑 젖어있는 경우라면 더더욱!)

예를 들어, 학부수준 수치해석에서 초반에 등장하는 Newton-Raphson algorithm의 경우, 한 점에서 함수식을 미분해서 x절편찾고, 다시 그 x좌표에서 함수식을 미분해서 또 x절편찾고...의 반복으로 주어진 식의 해를 찾아가는 방법이다. 매우 간단하지 않은가? [3] 맘먹고 교수님이 수강생을 계산하는 기계로 만든다면, 아마 같은 학기에 듣게되는 여타 수학과목에 비해 난이도가 최소 2/3 정도로 느껴지게 될 것이다.

그러나, 이 과목의 진정한 의미는 지금까지 추상적으로 다뤄온 이론을 실제적으로 가져오는 수단을 배운다는 점이다. 학부때 열리는 개론 수준의 과목의 주된 이슈 중 하나는 역행렬을 구하는 방법인데, 의외로 이 작업은 계산이 많이 필요한 작업이다. 선형대수학에서 Gaussian elimination을 배운 뒤 역행렬을 구해보려고 하면 5x5쯤 되면 정신없어진다. 하물며 100x100 크기의 역행렬 계산이라면야...
이것 뿐만 아니라 여러가지 예가 있겠지만, 요약하자면 수학과의 기초를 형성하는 논리적이고 추상적인 수학의 범주에서는 해는 존재한다! 라는 존재성과 유일성이 중요했었다면, 수치해석은 그래서 그게 얼마인데? 라는 관점으로 접근하는 차이점이 있다고 하겠다. 즉 애초에 목적 자체가 다른 과목.

공대생들은 수학의 추상성과는 달리 현실적인 해,최적값을 찾는 것에 익숙해져 있다. 그러나 공대생에게도 커리큘럼상의 수치해석은 조금 별나게 느껴진다. 그 이유는 공학만을 다루다가 어찌되었든 조금 특이한 수학을 접하게 되기 때문. 물론 수치해석은 공학도들이 계속 다루게 될 여러 소프트웨어의 바탕이 되기 때문에 굉장히 중요하다. 그래서 공대생들은 한학기 동안 미친듯이 MATLAB 프로그래밍을 하며 수치해석의 이론, 습득까지 수행하게 된다.

컴퓨터와 같이 계산을 돕는 기기들이 등장하면서, 수치해석의 적용과 발전 정도 또한 역시 괄목할만하게 이루어졌으며 round-off error 같이 기기에서 표현할 수 있는 수의 한계성과 이를 바탕으로 수를 정확하게 나타내려 하는 precision 문제 역시 수치해석의 한 분야로 발전하였다.
따라서, 추후 자신의 진로를 실제 계산이 필요한 연구 계열이나 (물리학 분야중 유체역학 같이 PDE와 떨어질래야 떨어질 수 없는 분야) 계산 과학 계열로 지망하는 사람들에게 수치해석 과목은 매우 중요하다 할 수 있겠다.

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  • [1] 당장 컴에서 사용할 계산 알고리즘의 태반이 수치해석을 기반으로 나온 거라면...더 이상의 설명이 필요한지?
  • [2] 대부분 수학과 커리큘럼 상 2학년 후반 내지는 3학년 즈음에 이 과목을 수강하게 된다. 극단적인 경우, 대수학 관련 과목과 위상수학 등을 꾸준히 듣다가 수치해석을 듣게 되면...
  • [3] 다만, 꼭 좋은 해를 찾아가라는 법은 없다. 함수식의 형태와 초기값에 따라 성패가 나뉘게 된다. 물론 무조건 좋은 결과를 반환해주는 메소드도 있다.

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