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수학

last modified: 2015-12-06 18:21:43 by Contributors

목차

1. 數學
1.1. 수학이란 무엇인가??
1.2. 수학에 관한 말들
1.3. 수학의 응용 범위
1.4. 수학의 세부 분야
1.5. 수학의 분류 체계
1.6. 관련 항목
1.7. 정규 수학 교육
1.7.1. 제7차 교육과정 기준
1.7.2. 2009학년도 고등학교 입학생부터
1.7.3. 2014학년도 고등학교 입학생부터
1.7.4. 2018학년도 고등학교 입학생부터
1.7.5. 논란과 주의사항
1.8. 수학자
1.9. 수학을 잘하면 받을 수 있는 상
1.10. 관련 캐릭터
2. 만화 나루토에 나오는 미수일미
3. 동음이의어

1. 數學

Mathematics

Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit(수학의 본질은 그 자유로움에 있다).
- 게오르크 칸토어(Georg Cantor)[1]

Wir müssen wissen, wir werden wissen(우리는 알아야만 합니다. 우리는 알게 될 것입니다).
- 다비트 힐베르트(David Hilbert)[2]

수학은 다른 과학으로 가는 문이자 열쇠이다.[3]
- 로저 베이컨(Roger Bacon)

수학은 이해하는 것이 아니라 그저 익숙해지는 것 일 뿐이다.
- 존 폰 노이만

이른바 자연과학의 여왕
왕은 물리학이라 카더라.

首虐, 머리를 학대하는 것
수학이 영단어로 math인 이유는 머리를 매스로 긇도록 아프게 해서 그렇다 카더라

언어와 함께 인류에게 없어서는 안 되는 학문
인류가 만든 가장 오래된 학문들 중 하나
많은 사람들이 학창시절 때 증오와 흥미를 품는 대표적인 학문
인류의 머리를 쥐어뜯는 학문
수(數)를 배운다면서 갈수록 알파벳이랑 노는 희한한 학문
천하의 개쌍학문

1.1. 수학이란 무엇인가??

자연과 인간 세계의 규칙성을 엄밀한 논리와 수 체계를 통하여 이해하기 위해 인간이 세운 고유한 사고 시스템 그 자체 혹은 그것을 연구하는 학문.[4] 수학의 한자 풀이는 를 다루는 학문이지만 숫자와는 거리가 먼 분야들도 상당수 포함하므로 추상적인 수학적 객체들을 다루는 학문으로 보는 게 옳다. 한자와 달리 고대 그리스어에 기원을 둔 mathematics라는 영단어는 ‘배움의 기술’ 정도의 의미를 갖고 있어 그 의미하는 바가 사뭇 다르다. 종이와 펜만으로 연구할 수 있는 유일한 이공계 학문이다. 하지만 요즘의 연구 경향은 많이 달라졌는데, 어떤 추측을 반례만 찾아서 반론을 제기할 수 있거나 하는 등의 경우 컴퓨터를 이용해서 연구하기도 한다.[5] 대표적으로 페르마의 마지막 정리, 리만 가설, 푸앵카레 추측, 4색정리 등이 있다. 이 중 페르마의 마지막 정리와 푸앵카레 추측은 증명이 완료됐고, 4색 정리는 수많은 평면을 나누는 가짓수를 유한개의 경우로 줄인 후 컴퓨터를 이용해 증명했다.

대수, 기하학, 정수론 등에서 출발한 매우 오래된 학문으로 오랜 역사동안 다루는 수학적 대상들의 수가 급격히 늘어나면서 수학의 정확한 정의와 범위[6]에 대해서 어느 정도 논란이 있다. 어떤 수학자들은 수학을 실제적 세계와 공리 체계 안의 성질을 해석하는 학문으로 이해하는 반면 다른 유형의 수학자들은 수학을 하나의 형식체계 안에서 하는 퍼즐 놀이처럼 보기도 한다. 현재 대세는 후자이고 수학자들 사이에서 수학 하면 소수를 제외하고는 대부분 후자 쪽으로 생각한다. 데블린은 ‘수학의 언어’라는 책에서 수학을 ‘패턴을 다루는 학문’으로 정의했다.

천재들이 하는 학문이고 40살이 넘으면 제대로 된 이론이나 정리가 나오지 않는다는 편견이 있지만[7] 40대부터 왕성한 활동을 시작한 에르되시, 바이어슈트라스[8] 등 이러한 편견에 반대되는 예로 남은 유명한 학자들도 적지 않으나, 40대 즈음부터는 난해한 정리를 증명하기 위해 필요한 날카로운 계산 능력 등이 점점 감퇴하는 것이 사실이다. 하지만 40대 이후에도 업적을 세운 이들은 연륜과 경험이 쌓이는 동안 함께 축적된 철학적 사고를 바탕으로 수학의 보다 근원적인 부분을 파고 들어가 거기서 간단한 변화를 주고 그것이 나비효과를 일으키는 식으로 수학 자체를 완전히 바꿔버린 경우가 많다. 예를 들어 수학에서 ‘증명’이라는 것을 최초로 제시했다고 알려지는 탈레스는 30대 중반에 수학을 시작하였고 르네 데카르트 역시 나이 서른이 다 돼서 수학을 시작하였다. 최초로 집합 개념을 본격적으로 사용하기 시작하며 무한집합을 허용하여 근대 수학의 맥을 끊은 업적으로 현대수학의 아버지라 불리는 하르트 데데킨트 역시 박사과정 논문을 쓸 때까지도 평범했다는 이야기가 있다. 그러나 보다시피 수학 자체를 바꿔버리는 건 그 업적 자체는 간단해보일지 몰라도[9] 난해한 정리를 증명하는 것보다 훨씬 더 어렵다. 이런 이들이 자주 튀어나왔다면 수학은 쉴 새 없이 패러다임이 바뀌었겠지만 보다시피 수학에서 역사적으로 패러다임이 바뀐 경우는 손으로 꼽을 정도이다. 전 세계에서 몇 백 년에 한 명 나올까 말까 한 케이스이다. 덕분에 역사상 몇 명 존재하지도 않았던 저런 학자들은 어디까지나 예외로 배제하고 수학에서 천재를 말할 때는 보다 일반적인 관점에서 수학의 패러다임 자체를 바꿔버리는 식의 업적을 기대하기보다 어디까지나 현재의 패러다임 속에서 난해한 오픈 프로블럼을 증명할 가능성이 높은 계산 능력이 뛰어난 수학자를 이야기하며 수학자 인생 최대의 업적은 40세가 지나기 전에 나온다는 이야기도 여기에 기인한다.[10]

흔히 과학, 그것도 자연과학으로 분류되지만 수학은 귀납적인 과학적 방법론을 사용하여 그 논리를 진행시키는 것이 아니라 몇 개의 (납득할 만한) 공리로 출발하여 연역적으로 구성하므로 엄밀히 말해서 수학은 과학이 아니다.[11] 수학의 많은 방법론들을 과학에서 가져다가 쓰고 있고 과학에서 (주로 해석학 쪽 분야로 한정되긴 하지만) 새로운 수학적 영감을 받는 경우도 많기 때문에 과학과 수학은 연관이 많지만 본질은 판이하게 다르다. 그래서 수학을 '형식 과학' 으로 분류하기도 한다.

수학에서 증명이 얼마나 대단한지 느껴 보려면 그에 관한 재미있는 이야기가 있다. 19세기 초에 힐베르트는 ‘수학의 무모순성’ 을 증명하기 위해서 난리를 치고 있었는데 괴델이 수학의 무모순성은 증명할 수 없다는 증명(괴델의 불완전성 정리)을 발표했고 그 소문을 들은 힐베르트는 몇 십 년 동안 꿈꿔왔던 일을 그만두고 이렇게 말했다고 한다. “증명이 되었다니 씁 어쩔 수 없지요.”[12]

1.2. 수학에 관한 말들

가우스의 수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이라 칭한 바 있다. 그러나 여기서 과학이란 독일어 단어 wissenschaft를 번역한 것인데 wissenschaft는 이공계열의 그것 뿐 아니라 학문 전반을 통칭한다. 즉, “수학은 학문의 여왕, 정수론은 수학의 여왕”이란 문장이 맞다. 과학 중에서 수학이 가장 쓸모 없으므로 수학이 과학의 여왕이고 수학 중에서 정수론이 가장 쓸모 없으므로 정수론이 수학의 여왕이라나(...).[13]

리처드 파인만은 “물리학과 수학의 관계는 섹스수음의 관계와 같다”라는 위대한 명언을 남겼다.[14][15] 그럼 공학은? 뭐긴 뭐야. 하렘이지. 그런데 그 말을 하고 바로 한 말이 “하지만 문제가 생기면 우리 불쌍한 물리학자들은 수학자들에게 굽신거리죠”(...).

세종대왕은 과학이나 역법을 연구하기 위해 수학을 직접 공부하기도 했는데 수학을 공부하면서 “수학은 왕이 배울 학문이 아닐지도 모르나 이 또한 성인이 지정한 것이므로 알고자 한다”라는 말을 남겼다고 한다. 본인부터가 이랬으니 자연히 세종 시대는 모두가 잘 아는 한국 사상 최대의 공밀레 시대가 되었다.

토어는 “수학의 본질은 자유다”라는 아주 유명한 말을 남겼다. 수학을 연구하는 방향은 어느 방향으로 연구해도 수학이 될 수 있다는 뜻 정도이다.[16]

바일은 "이 책을 쓴 사람을 목을 조르고 싶다" 라는 말을 남겼다.
https://www.math.okstate.edu/~wli/teach/fmq.html

한편 수학의 황제 힐베르트는 자신의 연설에서 “제가 살아있는 동안 리만 가설은 증명될 것이며 페르마의 마지막 정리는 여기 앉아계신 관중들의 아이들이 죽기 전에 증명될 것이고 $ 2^{\sqrt{2}} $ 이 초월수인지 아닌지는 우리의 몇 세대가 지나더라도 증명이 되긴 어려울 것입니다”라는 말을 남겼다. 그러나 이 예상은 ‘정반대로’ 진행됐는데 마지막 문제는 힐베르트가 죽기 전인 1930년에 증명되었고[17], 페르마의 마지막 정리는 1995년에 증명되었다[18]. 그리고 끝판왕 리만가설은 아직 증명되지 않았다.

1.3. 수학의 응용 범위

과학.jpg
[JPG 그림 (32.42 KB)]


뛰는 놈, 그 위에 나는 놈~ 출처는 xkcd. #

사회학자 지못미


하지만 수학자와 철학자한테 사회학에 대해서 설명해보라고 하거나 세발낙지의 전두엽이 어디냐고 물어보면 대답할 수 있을까

물리학, 화학 등을 비롯한 자연과학과 공학의 경우 이건 뭐 말을 하면 할수록 칼로리 낭비 수준. 그러므로 뚱보 이과생들은 다이어트를 위해 공부를 열심히 해야 합니다? 이 중에서 물리학과의 관계는 매우 각별한데 물리학의 경우에는 광학이나 양자역학 등을 하면서 엄밀성을 포기하는 대신[19] 수학과 학부 수준에서는 다루기 어려운 수학의 결과물들을 많이 사용하곤 한다. 물리에 필요한 수학들은 보통 수리물리를 통해서 공부하지만 수학과 수업을 듣거나 복수 전공해버리는 학생도 있다. 경제학 쪽에서도 요즘은 분야에 따라 물리학 이상으로 수학을 필요로 하여 수학을 복수전공하는 경제학과 학생들도 종종 보이곤 한다. 공학의 경우는 자기 필요한 부분에 한해 수학을 쓴다는 개념이지만 엔지니어링에 수학을 응용한다는 것이 차이일 뿐 논리전개 방식 자체는 수학의 방식 그대로이다.[20]

사회과학에서도 거의 모든 학문이 수학을 적극적으로 도입해 사용한다. 경제학이야 뭐 대표적이고[21] 일반인들은 전혀 그런다고 생각하지 못하는 정치학이나 사회학도 이미 수학을 사용한 방법론이 깊숙히 침투해 있다. 대학의 학풍에 따라서는 이건 사회학과가 아니라 사회통계학과라는 자조가 나올 정도로 수학을 이용한 방법론을 중시하는 경우도 있으며 이른바 합리적 선택이론(rational choice theory) 내지는 일반화 이론(formal theory), 계량적 방법론(quant), 연결망 이론(network teory)가 그것이다. 아예 수학적 분석으로 이루어진 수리사회학이라는 영역도 존재한다. 이 경우 학부에서 수학을 전공한 사람이 공부하는 경우가 대부분이다. 그것도 교양 미적분학 수준도 아니고 웬만한 중급 선형대수학과 통계학, 미분방정식을 사용하는 모델링이다. 따라서 고등학생 정도의 수학 수준으로 이쪽 대학원생들한테 어설픈 문과 놀리기 따위를 시전했다가는 역관광당한다. 인류학에서도 하위 분야인 체질인류학에서 통계 분석을 위해 수학을 동원하는 등 수학과 관련있는 분야가 존재한다.

철학은 아무런 관련이 없을 것 같다고? 대분석철학 책 한 권만 읽어보도록. 애초에 버트런드 러셀, 앨프리드 화이트헤드 같은 경우에는 한 시대의 가장 위대한 철학자인 동시에 수학자이다. 거기에 현재 인지도가 있는 프랑스 철학자 알랭 바디우의 경우 자신의 사상을 수학적 집합론으로 풀었다. 수학과 철학이 관계 없다는 것은 틀린 것이다. 애초 문리과대학이 무슨 의미일까 생각해보면 된다. 쉽게 말해서 논리학은 수학과 매우 밀접한 관계고 철학은 논리학과 밀접한 관계다.

심지어 수학과 전혀 관계없을 것처럼 보이는 역사학마저도 방법론 단계에서 수학을 도입하는 경우가 많다. 경제사, 정치사 등을 연구할 때 각종 통계 수치를 분석하기 위해 수학을 동원하고 있으며, 전쟁 등 역사적 사건의 빈도를 수학적으로 계산해 일반화시키는 시도까지 존재하고 있다. # 조만간에 심리역사학이 진짜 등장할 기세 그런데 정작 역사학자들은 수학을 잘 못한다. 아무래도 역사라는 특성상 철학보다도 수학과의 인연이 더 멀고 그나마 수학이 사용될 빌미가 되는 통계수치 분석 같은 것도 사회과학계열에서 다 해먹어서(...)

1.4. 수학의 세부 분야

크게 쪼개보자면
...이었으나 산술과 동의어였던 정수론은 더이상 고전 산술기술에서 성과를 얻을 수 없게 되었고, 기하학 역시 그런 모양새가 되고 둘 모두 타 분야에 의존하게 되어 사실상 저런 분류는 크게 의미가 없어졌다고 봐야한다.

  • 기하학
    우리가 중고생 때 배우는 기하학이랑은 차원이 다르다. 당장 해서도 유클리드 기하학만 하더라도 수많은 공식들이 난무하며 머리가 돌아갈 지경. 학부 때 배우는 기하학은 보통의 2~3차원 유클리드 공간에 존재하는 기하학적 오브젝트[22]를 고차원으로 확장시켜 배우며 높은 수준으로 가면 종이에 표현이 불가능한 추상적 공간과 수식, 논리식밖에 안 나온다. 여기까지 오면 이게 대체 왜 기하학에 속하는지 이해도 안 간다. 교수에게 물어봐도 답이 없다. 그야말로 설정놀음의 극치 사실 이는 그림으로 표현이 불가능해졌을 뿐 공간의 표면을 다룬다는 사실 자체는 같기 때문이다. 일반적으로 기하학과 대수적 기하학으로 나뉘는데, 대수적 기하학의 경우 수학 전반적으로 매우 깊은 연관을 맺고 있으며 이는 심지어 수학기초론도 포함된다. 물론 이는 일반적인 기하학은 결코 타 분야와의 관련성이 적다는 것을 의미하지 않는다.

  • 위상수학
    위상공간에 관한 학문으로 위상(topology)이란 임의의 집합과 그 위에 특정 조건에 따라 정의된 열린 집합들의 집합족이고, 어떤 집합에 어떠한 위상을 준 것을 위상공간이라 한다. 저 조건이란 게 매우 약하기 때문에 사실상 수학에서 사용되는 거의 모든 오브젝트에 정의가 가능하다. 즉, 프로그래밍 언어에도 위상을 정의하여 위상공간으로 만들 수 있고 논리체계에도 위상을 정의하여 위상공간으로 만드는 게 가능하다. 위상수학의 분류로는 크게 세가지로 되어지는데, 이는 일반위상수학, 대수적위상수학, 미분위상수학이다. 일반위상수학은 말 그대로 일반적인 공간의 성질들, 예를 들어 컴팩트라던지 분리공리 등을 다루고, 대수적위상수학은 호모토피라던지 이의 기본군, 그리고 피복공간이나 공간의 축약 등에 대해 다룬다. 마지막으로 미분위상수학은 미분기하학에서 다루었던 여러 대상들, 텐서라던지 접공간 등이 등장하고 또한 미분다양체 위에서의 여러가지 성질이나그런데 사실 미분다양체는 미분위상수학의 부분이자 전체이다 미분형식 등을 특히 주로 다룬다. 위상수학에 관해 주먹구구식으로 말하자면 보통의 기하학이 거리공간을 사용하여 '거리' 도 어느정도 중시한다면 위상공간은 '경계' 를 중시하는 경향이 있다. 즉, 위상수학에서는 '닿았는가 닿지 않았는가' 를 중시하고 닿지 않았을 경우 '얼마나 떨어져있는가' 는 보통 거리공간을 사용하는 기하학의 영역이다. 이는 상기했듯 위상수학은 기하학과 달리 공간의 본질에 대해 주로 다루기 때문이다. 물론 초반부 이야기고 어차피 나중 가면 알아볼 수 없게 뒤섞이게 된다. 이는 공간의 표면과 본질은 서로 완전히 독립될 수 없음을 의미한다.

  • 대수학
    임의의 대수적 구조를 연구하는 학문이다. 대수적 구조란 쉽게 말해 '연산자' 의 구조이다. 임의의 집합에 특정 연산자를 조건에 맞게 정의하면 대수적 구조가 된다. 학부 때 해석학과 함께 수학의 양대산맥을 이루는 분야인데 해석학이 디테일한 테크닉에 집중된 스타일이라면 대수학은 추상적인 논리 위주의 분야라고 볼 수 있다. 물론 학부 때로 한정되는 이야기고 나중 가면 결국 타 분야에서 대수적 구조가 발생하지 않을 이유가 없으므로 섞이게 된다.

  • 군론
    현대 대수학이 발전하는 과정에서 발달하게 된 것이 군론이며 추상대수학의 기본이 되는 분야이다. 역사적으로도 19세기 추상대수학이 태동할 때 맨 처음 개발된 분야이다. 사실상 추상대수학 자체가 군론에서 뻗어나간 결과물이라고 보아도 무방하다.

  • 정수론
    대수학을 비롯한 근대 수학이 꽃피기 전까지 가히 수학의 여왕으로 군림했다고 할 수 있는 분야이다.(정수론에서 다루는 정수整數가 Integer이 아니라 Number로 번역되는 것만 봐도 알 수 있다(..) 실제로 대수적 수까지 포함하여 수론으로 통칭하기도 한다.) 현대 수학의 발전 이후에는 주로 대수학의 범주에 들어가게 되었으나, 문제 해결을 위한 방법론은 실로 다양하다. 대수학적 방법론 외에도 디오판토스 방정식과 타원곡선 등을 다루는 데에는 해석적 방법론이, 격자점 문제 등을 다루는 데에는 기하학적 방법론이 사용되기도 한다. 또 20세기 이전에는 정치적으론 그다지 각광을 받지 못하는 수학자들만의 분야였으나, 양차 세계대전 당시 소수를 기반으로 한 암호 체계가 발달하면서 사회적으로도 주목받게 되었다. 이와 동시에 우리 현실과 밀접하게 연관되어 있는 계산적 정수론이 발전하게 되었다. 수많은 정수론자들이 리만가설을 증명하려 노력하고 있지만 아직 증명을 못하고 있다. 넷상에서 리만가설이 증명되면 RSA 암호체계에 결함이 생긴다는 이야기가 떠도는데, 근거없는 이야기이다. 간단히 생각해봐도 만약 그것이 사실이라면 리만가설이 증명되었다고 가정하면 암호체계를 뚫을 수 있을 수 있을 텐데 그런 일은 없다. 이 이야기는 다큐멘터리 등에서 수학의 유용성을 어떻게해서든 보이려 일부러 표현을 모호하게 하였기 때문으로 보여지는데, 리만가설과 RSA와의 관계는 소수를 다룬다는 사실 이외에는 없다.

  • 해석학
    주로 해석학이라 하면 실수와 복소수를 다루는 학문이라고 생각하나 사실 이는 실수와 복소수가 정말 완벽한 공간이기 때문에 당연히 관계되어 있는 것이고 한 마디로 정의하자면 함수에 대한 학문이라 할 수 있다. 다시 말해 여러 함수를 탐구함과 함께 이를 통해 다른 분야로의 응용을 추구하는 학문이라 할 수 있을 것이다. 물론 해석학 내의 개념에서는 다른 학문에서 출발한 것도 많이 있다. 예를 들면 유클리드 공리계에서는 점은 길이가 없는 선이라고 정의되어있는데 후대 수학자들이 길이가 0인 점을 무한히 더하면 길이가 0보다 큰 선이 되는 것에 관심을 가진 것이 측도이론이 탄생한 배경이다. 물론 우리는 이제 그 질문의 답을 알고있다. 점이 가산개 있으면 측도가 0이고 비가산개(물론 유한이 아닌) 있으면 측도가 0보다 크다. 이 예로 유리수집합은 측도가 0이나 실수집합은 측도가 0보다 크다. 또한 타 분야에서 시작된 개념들이 해석학에서 발전된 것으로는 함수 해석학이 있는데, 함수 하나하나를 벡터로 본다는 시각은 선형대수학이 없었다면 나올 수 없었을 것이다.

  • 미분방정식
    말 그대로 미분방정식과 그 해법에 대해 연구하는 학문이다. 크게 상미분방정식과 편미분방정식으로 나누어지며, 수학의 여러 분야 뿐 아니라 타 학문에도 매우 응용이 많이 되는 분야이다. 특히 물리학의 경우에는 미분방정식이 없으면 성립조차 안될 학문이라고 할 수 있다. 애초에 운동방정식부터가 미분방정식이다. 또한 미분방정식의 등장으로 출현할 수 있었던 대표적인 수학 분야로 동역학계를 들 수 있는데, 동역학계의 경우 이름만보고 물리학의 특정분야로 여길 수 있으나 이는 푸앵카레가 창시자이고 경제학, 생명과학 등에서도 많이 응용되는 분야이다.

  • 이산수학
    이산구조(discrete structure)에 관한 수학이다. 수학을 커다란 두 줄기로 양분하면 이산구조와 연속체 구조가 나온다. 이산구조와 연속체 구조는 일반적으로 '셀 수 있는 것' 과 '셀 수 없는 것' 정도로 구분하며 개중에 연구대상이 '셀 수 있는 오브젝트' 일 경우 보통 이산수학이라 칭한다. 이 '셀 수 있는 오브젝트' 는 다시 두 가지로 나뉘는데 '알고리즘적인 것' 과 '비알고리즘적인 것' 이 그것이다. 덕분에 컴공에서도 꽤 배운다(고교 수준이지만).

  • 수치해석
    일반적으로 이산수학의 한 범주로 넣는다. 특히 이산수학을 전산학적으로 다루는 경우에 가장 집중적으로 배우게 되는 것이 수치해석이다. 현대적인 컴퓨터를 비롯한 모든 계산장치는 유한 자릿수의 이산적인 수치만을 취급하기 때문에 그러한 것이다.

  • 리논리학
    논리를 수학적 대상으로 환원하여 수학적 방법론으로 연구하며 그 응용인 집합론, 모델 이론, 카테고리 이론, 계산이론(혹은 재귀이론), 증명이론, 구성주의 수학 등을 포함한다. 일반적으로 수학에 포함시켜 이야기하지만 사실상 ZFC 집합론과 카테고리 이론 정도의 시스템 안에서 대부분이 이루어지는 수학에 비해 오만가지 형식적 시스템이 등장하고 수학을 이루는 형식적 시스템은 물론 형식적 시스템 일반을 대상으로 삼아 연구하는 터라 실제 타 수학과의 관련은 의외로 매우 적다. 오히려 메타수학 쪽에 가까운 학문으로 수학보다는 언어학, 철학, 컴퓨터과학 등 타 분야와 관련을 더 깊이 갖고 연구하는 경우가 많다. 일반적인 수학과 공유하는 부분은 수리논리 쪽에서 특정 수학분야 자체를 응용 대상으로 삼아 전개해나가는 경우, 예를 들면 호모토피 논리 등의 경우가 아니라면 형식논리, 집합론, 범주론 기초정도 약간에 역사적인 관점에서의 수학기초론 정도가 전부이다. 상대적으로 타 수학 분야 와의 관련성이 적으며 이쪽 분야 자체도 매우 크고 넓기 때문에 이쪽 관련 전공을 택할 경우 최대한 빠르게 시작하는 것이 좋다. 다만 대학에서 이쪽 분야 교수진이 뒷받침이 안 될 경우 맛배기 정도의 커리큘럼만 제공되는 것이 전부이기 때문에 이때는 대학을 옮기거나 전공을 포기하는 수밖에 없다.

  • 합론
    위의 수리논리학에 속하는 분야이지만 어째 수리논리학보다 더 유명하다(...) 아마도 모든 수학의 기본이 되는 집합의 개념을 배우는 학문이기 때문일 듯. 필요로 하는 수학적 사전지식이 매우 적고 타 수학 분야와 관련성도 비교적 적은 편임과 동시에 집합론 자체도 매우 큰 분야이기 때문에 해외의 경우 집합론을 전공분야로 정할시 선형대수와 실해석의 쌩기초만 배운 후 이후부터는 석사 졸업 때까지 거의 수리논리와 집합론 과목만 들을 수 있는 대학도 있긴 하다. 물론 그만큼의 교수진이 받춰줘야 가능한 커리큘럼이다. 보통의 경우는 집합론을 전공으로 정하더라도 학부 말이나 석사쯤 간 다음에 논리학과 같이 묶어서 본격적으로 배우기 시작하는데 사실 이런 '기본루트' 를 쫓아갈 경우 석사 졸업 때까지도 기초 수준을 벗어나기가 힘들기 때문에 상당한 수준의 독학이 요구된다. 보통 수학을 잘 모르는 이들은 '집합' 을 중학교부터 배운다고 무시하는 경우가 많은데 수학 분야 중 가장 추상적인 분야 중의 하나이며 도저히 상상 불가능한 '이상하고 복잡한' 집합들을 순수 논리에 의지해서 헤쳐나가야 하며 집합론 공리계 자체를 다루는 학문이기 때문에 사실 보통의 인간 직관이 가장 안 통하는 분야 중 하나라 '쉽다' 와는 당연히 거리가 매우 멀다.

  • 통계학
    한국에서는 수학에 포함시키는 경우가 많다. 하지만 통계학이 수학이라는 주장에는 이견이 따를 수 있는데 통계를 배운 사람들은 알겠지만(어느 쪽에 중점을 두는 학교에서 배웠느냐가 문제가 되겠지만) 수학이 포함되지 않는 부분들이 많다. 통계학에서 수학은 처음에 기초 부분을 배울 때는 어느정도 필요하지만 그 이후에는 확률론 등 그쪽 관련 분야를 선택하는 사람들만 수학적으로 더 파고 들어가 배우는 것이 일반적이다. 실제로 많은 국가에서는 수학과 관련된 부분은 Mathematical statistics라 하여 통계학의 하위분류로(그리고 동시에 수학의 하위분류로) 구분한다. [23]

  • 확률론[24]

  • 용수학

  • 미적분학

    위의 분류들은 아주 굵직한 분류들로 그 세부 분야까지 따지면 너무나 많은 수학들이 존재한다.
    힐베르트가 수학 위의 수학인 메타수학을 만들려고 노력했으나 괴델에 의해 불가능하다는 것이 밝혀졌다

1.5. 수학의 분류 체계

  • MSC(Mathematics Subject Classification)
    알파벳과 숫자를 혼용해서 Mathematical Reviews와 Zentralblatt MATH, 2개의 수학 데이터베이스에서 사용되는 분류체계이다. 많은 학술지에서 사용되는 분류체계이다. 자세한 사항은 MSC2010 참고

  • DDC의 510항목

  • LCC의 QA항목

  • KDC의 410항목
    자세한 사항은 KDC 요목표참고

1.6. 관련 항목

1.7. 정규 수학 교육

과학고등학교에서 배우는 심화 과목인 '수학Ⅲ', 또는 '고급수학'은 수학Ⅲ 항목 참조[25]

1.7.1. 제7차 교육과정 기준

1.7.3. 2014학년도 고등학교 입학생부터

1.7.4. 2018학년도 고등학교 입학생부터

  • 2018학년도 수학 교육과정

1.7.5. 논란과 주의사항

대한민국 대부분의 학생들의 만악의 근원이자 철천지 원수
사실 초중고교 시절 배우는 수학은 연산법에 가깝다. 오죽하면 6차교육과정 시절에는 초등학교 수학 과목명이 수학도 아니고 산수(算數)였겠는가?[33] 난이도를 이유로 증명이 차지하는 부분이 매우 적기 때문에 실제 수학과는 거리가 좀 있는 편. 증명을 다루지 않다보니 수학의 중요한 베이스 중 하나인 논리 파트를 거의 건드리지 않는다. 관련학과 입학 후 엡실론-델타에 멘붕하는 학생들이 많은 이유도 이것이 초중고교 수학 정규코스를 밟은 학생들이 최초로 접하는 논리식 중 하나이기 때문.
이렇게 난해한 부분들을 미리 제거해준 수학 과목이지만서도 영어와 함께 학생들이 가장 싫어하는 과목 1, 2위를 다툰다. 국영수 과목이 다 그렇지만 수학은 정말 해도해도 끝이 없다고 느끼는 학생들이 많다. 영어야 언어이기 때문에 여건에 따라 조기유학 등으로 어려서부터 무난하게 익숙해진다던지 하다못해 작정하고 시작하면 답이 없지는 않지만 수학은 그것도 안되니... 게다가 영어는 수학보다 활용할 기회가 더 빨리 온다.[34] 상위권과 중위권을ㅡ 가리지 않고 모두가 재능의 넘사벽을 느낄 수 있게 해주는 과목. 이유인 즉슨 수학이 보통 다른 과목과 달리 시간이 매우 쪼들리다보니 많이 풀어서 여러 유형을 익히는 방법밖에 길이 없기 때문인데 안될놈은 안된다는 말이 맞게 보일 만큼 그 격차가 극심하다는 점이 결정적으로 작용한다. 웬만큼 공부 잘 한다 하는 학생들도 수학만은 저주하거나 어려워하는 경우가 매우 많다는 듯. 게다가 다른 과목들과는 달리 수학은 자신이 직접 푸는 방법을 찾아야 한다. 이차방정식 하나가 있더라도 푸는 방법은 셀 수 없이 많다. 당장 우리가 배우고 있는 공식과 풀이법도 고대시대부터 내로라 하는 천재수학자들이 머리를 쥐어짜며 하나하나 쌓아 올린거다. 당연히 극소수 천재를 제외한 일반인에 불과한 중고등학생들이 고생하는 것은 어쩔수가 없는 일. 원래 수학이 재능으로 커버하는 것도 힘들고, 외워야 할 부분 또한 다른 과목에 비해 적으면서도 해야 할 것이나 처리해야 할 과정들이 상당히 많기 때문에 난이도가 폭등할수 밖에 없다. 사실 수학교육이 조금 잘못된 측면도 있는데 한국 입시정책상 '변별' 이 매우 중요하여 이 변별을 위해서 빠른 시간 내에 최대한 많은 문제를 풀어내는 자판기식 테스트가 만연해있다. 시간을 충분히 갖고 속도보다 정확성 및 과정을 중시하는 것이 수학의 기본일진데 현재 한국의 상황은 빠른 시간 내에 최대한 많은 답만 제출하는 것을 요구한다. 말 그대로 배움을 위해 입시라는 테스트가 존재하는 게 아니라 입시라는 변별 그 자체를 위해 배움이 존재하는 뭔가 본말전도인 상황도 학생들이 수학을 매우 싫어하는데 한 몫 단단히 하고 있다.
정말로 잘 해서 수학자의 길을 걷고 싶다면 아주 어릴 때부터 선행학습(그것도 동네 학원 같은 데서 하는 야매로 된 선행학습이 아니라 제대로 된 선행학습)을 거쳐서 머리에 기름칠을 해놓는 것이 좋다. 물론 그 나이에 수학 선행학습이 가능하려면 지능지수가 어느 수준 이상이 되어야 하지만. 물론 수학자가 되기 위해서 선행학습이 '필요조건' 이지는 않다. 뒤늦게 수학을 공부해 수학자가 된 사람들도 많다. 하지만 제대로 된 선행학습을 한다면 남들보다 좋은 출발을 할 가능성이 높은 건 사실이다. 그리고 한 번 배운 건 나중에 꼭 사용되는 특성 때문에 한 번 뒤쳐지면 답이 없는 과목이기도 하다.
사실 인생을 살다 보면 사칙연산에 분수, 소수 정도만 알아도 별 문제 없고 중학교 수준 이상의 수학은 일부 직업을 제외하고는 사용할 일이 없기에 대체 수학은 딱히 쓸모도 없는데 왜 배우냐며 수많은 사람들에게 동네북으로 제일 많이 까이는 과목이기도 하다. 다른 과목은 닥치고 암기라도 하지...수학에 대한 분노!이러니까 대한민국 수학이 뒤떨어지지
그러나 복리를 지급하는 은행 계좌를 가지고 변화율을 운운하는 순간 이미 당신은 지수와 미분을 사용하고 있다! 아, 그렇다고 공부해야 그게 어떻게 돌아가는지 알 수 있는 건 아니고[35]
그리고 일상생활에서 쓰이지 않는다고 학문적인 필요성조차 없다고 치부하는 건 누가 봐도 병크. 또한 수학은 절대로 빠져나갈 수 없는 논리를 바탕으로 하는 학문이기에 수학을 배우는 과정에서 논리력이 길러지고 공식의 증명이나 문제를 푸는 방법을 생각하는 과정에서 창의력을 기르게 된다. 창의력기르라고 만들어놓은 문제가 오히려 정석적인 풀이방법에 대한 암기로 이어져 학생들의 사고방식을 단일화 시킬 수 있다는 비판도 많다. 애초에 수학에서 점수를 매길때 유럽이나 미국에서는 가르치지않고 개성적으로 풀어낸 풀이방법을 더 높은점수를 주는데, 한국은 어떤 한 풀이방법에 위배되면 점수를 덜준다는점도 상당히 해를 끼친다.
그러나 한국에서는 대학 입시의 도구로 전락해 대부분의 학생들이 하루하루 문제만 푸는 기계가 되고 있다. 씁쓸한 현실. 결과적으로 대한민국의 수학은 논리력이나 창의력을 길러주고 있지 못하다.[36][37] 모 학습지 광고에서 숫자 계산에만 집중하는 교육방법을 비판하며 숫자는 물론 도형 등도 골고루 풀라며 학습지를 홍보한 적이 있다.
2014학년도 교육과정에 따르면 고등학교 과정에서는 크게 고1 과정인 수학 Ⅰ, 수학 Ⅱ적분1, 적분2, 률과 통계, 기하와 벡터로 구성되어 있다.[38] 과학고나 일부 자사고 한정으로 고급수학(구 수학III) 과목이 존재한다.
고등학교 1학년 때의 고등수학 성적으로 문과냐 이과냐를 가르는 경우가 생각보다 아주 많다.
대학수학능력시험/수학 과목은 수능에서 가장 중요한 과목으로 국어, 영어를 잘해도 수학을 못하면 좋은 대학은 거의 못 간다고 봐도 좋다. 수학은 이과 뿐만 아니라 문과에서도 제일 신경써야 하는 과목이다. 국어/영어/사회만 잘 하면 문과에서는 좋은 대학에 갈 거라 생각하는 사람이 매우 많은데 특히 상위권 학생들 사이에서 그 과목들 성적은 거의 차이가 없는지라 변별력을 가르는 과목은 수학 뿐이다. 이과도 마찬가지.
그만큼 중요한 과목인데 접근성이랑 투자대비 효율성이 엄청나게 낮은지라 처음 파고들기 쉽지 않다. 수학을 처음 공부하기 시작하면 보통 2~3분안에 풀어야 하는 문제를 5~10분 잡아먹고, 그렇게나 잡아먹고도 답은 틀리는 경우가 많은데 그럴때는 정말 하기가 싫어진다고들 한다. 저렇게나 꼬이는 이유는 많지만 대충 꼽아보자면 복잡한 수학계산과 공식대입,수학적추론등에 익숙하지 않아서인데[39] 계속 공부해서 어느정도 궤도에 들어가면 그쯤에는 어느정도 나아진다. 문제는 그 궤도에 들기가 쉽지 않다는 것인데 이건 본인의 의지에 맡길수 밖에 없다. 이 악물고 꾸준히 붙잡고 풀면 단계적으로 실력이 올라가며 보통 그 단계 하나를 뚫을 때마다 본인 성적은 급격히 상승하고 이 이후에 수학 성적이 급격히 내려가는 것은 보기 힘들다. 말하자면 초짜->양민 학살(60~70)->몇몇 보스몹 빼고는 다 처리(80~90)->본좌 정도의 단계를 거친다고 보면 된다. 그러나 당장 수학자 수준으로 레벨 올리기가 쉽지 않고 시간도 안되서 대부분 학생들이 양민학살 과정에서 포기하고 수포자의 길을 걷게 된다. 안습.
하지만 수학을 오래 공부하면 공부할 수록 사실은 별로 배운 게 없다는 사실을 깨닫게 된다. 솔직히 말하자면 고등학교 수학은 일부 단원을 제외하고는 대개 이성적으로 당연한 것들을 다루고 있으며[40] 이는 대학 학부 수준의 수학도 크게 다르지 않다. 수학을 정말로 잘하고 싶으면 수학 문제집을 많이 풀고 학원을 열심히 다니는 것보다 이것이 왜 이렇게 되는지 깨닫는 것이 훨씬 더 중요한 문제이다. 그렇기 때문에 이 항목을 보는 사람들은 수학을 공부하는 것을 결코 포기하지 않기만을 바란다. 수학을 단순히 계산의 도구로 보지 말고 하나의 수학적 흐름으로 보기를 바라는 바이다. 고교 2학년 과정을 끝냈다면 토비아스 단치히의 Numbers(수:과학의 언어)를 한 번 읽는 걸 추천한다. 그리고 수능 이후론 공학용계산기를 찬양하며 살자
또한 고교생들 사이에서 과정을 생략하고 답만 구해내는 학생들이 많이 있고 몇몇 사람들은 이것을 머리가 좋다는 것의 반증인 양 취급하는 경우가 많은데 완전한 착각이다. 답 그 자체보다 과정을 논리적으로 엄밀하게 전개해 나가는 능력이 답을 구해내는 능력보다 훨씬 중요하다. 이는 비단 타인에게 보이기 위해서만이 아닌 자기 자신의 수학 능력을 위해서도 매우 중요한 습관이다. 사실 고교 때는 거의 배우지 않지만 수학의 근본적인 목적은 증명이고 증명이란 그것이 왜 그런지를 보이는 것이며 답은 매우 자명해보이면서도 증명 과정은 까다로운 문제들도 여럿 존재한다. 고로 항상 답보다 논리적인 과정을 중시하고 '왜 그러는지' 머리속에서 완전히 명확하게 될 때까지 공부하여 알아두는 것이 나중을 위해 좋다. 서양에서 수학시험은 주관식인 경우가 많으며 이때 답이 틀려도 과정이 맞으면 점수를 대부분 주며 과정 없이 답만 달랑 쓰면 0점 처리하는 선생도 많을 정도로 과정을 중시한다. 물론 빠른 시간 내에 오로지 답만을 요구하는 한국의 입시위주 교육에서 그런 것에 신경 쓰는 시간이 아깝게 느껴질 수 있겠지만 수학을 전공하고자 하는 학생들에 있어서는 눈앞의 입시보다 그 이후를 위해 과정을 중시하는 것이 좋을 것이다.

1.9. 수학을 잘하면 받을 수 있는 상

1.10. 관련 캐릭터

천재적인 면이나 괴짜적인 면을 부각시키려는 의도 정도로 픽션상에서는 캐릭터의 취미라기보다는 달고 사는 것 정도로 종종 나오는 경우도 있다. 아래는 그 예시.
수학교사 캐릭터에 관해서는 수학교사 항목 참조.

2. 만화 나루토에 나오는 미수일미

3. 동음이의어

  • 受學 - 배움을 받다. 즉, 배웠다는 뜻.
    한명의 스승으로부터 같이 배움을 받은 것을 '동문수학'이라고 한다.

  • 修學 - 학문을 갈고 닦는다는 뜻.
    대학수학능력시험의 수학이 이 수학이다. 문과생들이 주로 응시하는 수학A형의 경우 똑같이 만점을 받아도 국어 영어보다 표준점수가 30점은 더 높게 나오면서 수학영역의 비중이 너무 커지면서 이를 까는 의미를 담아 대학수학능력시험의 수학을 일반적인 수학의 뜻이라고도 한다.
    수학여행의 수학도 이 뜻이다.

  • 水學 - 물에 대해 배우는 학문

  • 粹學 - 순수한 학문
분류:수학
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  • [1] 이 명언은 공교롭게도 수학의 정석에 실려 있는데 참 아이러니한 일이다(...) 물론 정석 문제를 자유롭게 풀어내는 능력자가 없는 건 아니지만.
  • [2] 힐베르트가 자신의 은퇴식에서 말한 명언이다. 하지만 아이러니한 사실은 결국 힐베르트가 증명하고자 했던 '수학의 완벽성 정립'은 개객기 의 등장으로 인해서 못했다는 것은 함정. 아이러니하게도 자신의 한 말을 괴델이 그대로 뒤집는 정리를 증명한 것이다.
  • [3] 문명 5에서 수학을 발견하면 뜨는 어구이기도하다.
  • [4] 집합과 명제가 괜히 수학 교과서 첫 단원에 나오는 게 아니다.
  • [5] 혹은 이산적인 경우에 가짓수는 많고 논리적으로 풀어내기는 힘든 경우, 알고리즘을 잘 짜서 각개격파(...)할 경우에도 컴퓨터를 이용한다. 4색정리가 대표적인 예
  • [6] 즉 "수학적 객체라고 말할 때 이것이 '수학적'이라고 할 수 있는 근거는 무엇인가?"라는 철학적인 질문이다.
  • [7] 수학계의 노벨상이라고 할 수 있는 필즈상은 40살 미만에게만 수상이 허가된다. 하지만 애초에 필즈상은 젊은 수학자의 연구를 장려하는 의미로 주는 상이다. 가우스 이래로 위대한 수학자였던 에르되시(에어도스)는 80대가 넘는 나이 동안 꾸준한 성과를 거둔 바가 있다. 뭐 꾸준히 커피와 암페타민을 복용한 결과지만. 저명한 수학자 하디는 자신의 저서인 '수학자의 변명' 이라는 저서에서 실제로 나이가 들면 들수록 무언가 창의적인 생각이 힘들다고 적었다. 실제로 이 책은 자신이 왜 정리 같은 걸 발견 못하는지 적은 책이라는 것을 보면 살짝 웃긴 듯하다.
  • [8] 1854년, 촌 동네에서 올라온 듣도 보도 못한 고등학교 교사가 아벨 적분에 관한 논문을 출판했는데 이때 수학자들이 논문을 보자마자 그의 비범한 능력을 알아차렸다고 한다. 이 교사는 2년 뒤 베를린 대학 교수로 초빙되는데 그 교사가 바로 카를 바이어슈트라스로 그의 나이 41세일 때이다. 현재 바이어슈트라스는 직관적인 판단이 만연하던 근대 해석학을 무자비할 정도로 엄밀한 현대 해석학으로 전환시키는 작업을 완성시킨 인물로 평가받고 있다.
  • [9] 집합개념을 사용한다거나 증명이란 개념을 생각해낸다거나 아리스토텔레스식의 기하개념에서 좌표평면을 생각해내는 것 등은 얼핏 보면 정말 당연하고 직관적이며 그걸 생각해내지 못했던 이들이 오히려 멍청해 보이기까지 한다. 그러나 이것들은 콜럼버스의 달걀과 마찬가지로 이미 그것을 보고 아니까 쉬운 거지 그것이 없던 시절에 그것을 생각해낸다는 것은 완전히 차원이 다른 문제이다. 미래에도 분명히 매우 간단한 방식으로 수학을 기초부터 뒤흔들어버리는 개념이 등장할 것이다.
  • [10] 63세에 자연수의 세제곱수의 역수의 합이 무리수임을 증명한(위에서 말한 '현재의 패러다임 속에서 어려운 문제'에 속한다.) 로저 아페리 같은 예외는 있다만.
  • [11] 과학이 보편적인 사실을 바탕으로 가설을 세우고 이를 실험을 통해 검증하는 지식체계라면 수학은 추상화를 통해 얻은 개념들을 수학 증명을 통해 쌓은 '논리 시스템'에 가깝다. 하지만 추상화와 논리학에 바탕을 두지 않고 여러 가지 경우의 수에서 귀납적으로 각종 정리들을 도출시켰던 이집트나 중국 등의 전통 수학은 과학이라고 불러도 될 것이다(그러나 이런 종류의 수학은 학문으로 인정하지 않는 학자도 많다. 굳이 분류하자면 학문이 탄생하기 이전의 기술적인 것들로 한정한다. 예를 들어 칸트의 경우 연역적 Reasoning을 학문에 있어 필수적인 것으로 보았기 때문에 최초의 증명이라 여겨지던 탈레스의 증명을 학문의 시작으로 언급하였다. 즉, 증명개념의 탄생->철학의 탄생->철학에서 각 학문이 전문화되어 독립하면서 각 학문의 탄생 정도로 보았다).
  • [12] 정확히 말하면 힐베르트는 유한한 공리들에 기반으로 단단한 틀 속에 수학을 재정립할 수 있다는 꿈을 꾸고 있었다. 이는 당시 존재하던 여러 수학 이론들에 치명적인 타격을 주는 역설들이 끊임없이 발견되자 역설이 발생할 가능성을 차단해버리려는, 많은 수학자들과 논리학자들의 공통된 목표였다. 하지만 혜성처럼 나타난 젊은 수학자 괴델이 유한한 공리들에 기반으로 체제 속에서는 참과 거짓여부 증명이 불가능한 명제가 반드시 존재한다는 것을 증명해버렸다. 이게 왜 대단한 거냐면 완전히 수학적인 질문, 다시 말해 명제임에도 불구하고 참과 거짓을 구분할 수 없다는 것이다! 명제'p'와 명제'~p'가 동시에 참이 된다는 그로테스크한 현상이 필연적으로 일어나는 것을 증명한 것이니 당시 수학자들이 받은 충격은 상당했다.
  • [13] 실제로는 보다 근원적이고, 그래서 보다 절대적인 것을 여왕이라 표현한 것이다. 과학보다는 수학이 더 절대성을 갖고 있고 수학에서도 ‘수’ 라는 개념이 가장 절대적이라는 가우스의 생각인데, 날고 기던 가우스도 역시 근대 수학자이기 때문에 오늘날의 현대수학과는 생각하는 바가 좀 다르다. 오늘날 수학에서는 ‘수’ 개념보다 ‘논리’를 더 우선한다.
  • [14] 한마디로 수학자가 실제 적용하지 못할 숫자 장난으로 상상 자위를 하고 있을 때 물리학자는 그 수학을 적용하여 실제로 행하고 있다는 뜻. 그때 공학자는 그 물리학을 적용시켜서 (이하생략)
  • [15] 학부생활의 대부분을 수학을 하며 보내게 된다는 해석도 있다. 물론 유머.
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    [JPG 그림 (43.32 KB)]
  • [16] 아이러니한 사실은 어떠한 수학을 시작하기 위해서는 먼저 공리가 필요한데 이는 ‘제한’ 이 필요하다는 사실과 비슷하다. 즉 수학의 분야를 추가시키려면 제한을 추가해야 한다는 소리. 더욱 아이러니한건 이 제한들을 조금만 바꿔도 또 다른 수학이 될 수 있으므로 제한을 가하는 방식 자체의 자유도 존재한다. 즉, 여기서도 칸토어의 명언이 적용된다.
  • [17] 더 일반적인 경우인 Gelfond–Schneider theorem은 1934년에 증명됨.
  • [18] 갓난아이 관중이 있었다면 흰머리 훌훌 날리는 할머니, 할아버지가 되었을 때 증명 소식을 들었을 수도 있다.
  • [19] 예를들어, 미방시 점 하나가 틀어질경우, 물리학과 학생은 "점 하나정도 값에 영향도 안주는거 갖다버려" 하고 미방을 하는 반면, 수학과 학생은 "어? 점 하나가 안맞는데? xx 정리에 의해 해가 존재하지 않습니다." 라고 한다. 물론, 수학에서도 이런식의 적분을 할수는 있지만 weak solution 같은 다른 정의를 이용해야 가능하고, 이런건 보통 학부때는 다루지 않는다.(어려워서가 아니라 그게 필요한경우가 별로 없어서...)
  • [20] 다만, 복잡성에는 차이가 있다. 응용학문이 다 그렇지만, 목적 자체가 실생활에서의 응용이기때문에 더 쉽고 편리한 방법이 있다면 그쪽을 선호하며, 피치 못할 경우에만 복잡한 부분을 다룬다. 순수수학의 경우에는 반대로, 그 복잡다단한것 자체에 대한 학문적 흥미가 메인 테마이기 때문에 오히려 복잡한걸 찾아다니는 경향이 없지않아 있다. 예를 들어 공과대학에서 배우는 과목인 공업수학수학과에서 배우는 과목인 해석학/미분방정식 등은 배우는 진도는 얼추 비슷할지 몰라도 각자의 전공에서 요구하는 수준과 뱡향에 맞게 최적화된 것이라 공과대학 학부생이 수학과에서 가르치는 과목들을 듣거나 수학과 학생이 공업수학을 듣는 것은 묘하게 차이가 많고 가르치는 방법도 다르다. 때문에 공대생들은 수학과생이 복수전공이나 타전공 대학원을 준비하는 차원에서 실전 적용능력을 기른답시고 공업수학 들으러 오면 학점헌터 아니냐며 츤츤거리기도 한다 카더라.
  • [21] 공부를 계속할 경제학과 학생의 경우 수학과 전공 수준의 선형대수학, 해석개론, 미분방정식, 실변수함수론, 수리통계 등을 이수하는 것이 일반적이다. 극단적인 경우는 모델링을 한답시고 물리학 수업까지 듣는 경우도 있다.
  • [22] curve, manifold, polynomial equation 등이 이에 속한다.
  • [23] 비슷한 예로 심리학도 이러한 논란이 많은 학문인데 한국에서는 문과로 분류하지만 뇌의학 같은 분야와의 관계를 많이 집어넣어 이과로 분류하는 국가/대학도 많다. 아니 한국에서도 국립중앙도서관에서는 심리학 도서가 자연과학 서가에 꽂혀있다.
  • [24] 통계학의 분야로 넣기는 하는데 내용은 해석학에 가깝다.
  • [25] 좀 더 구체적으로 이야기하자면, 제6차 교육과정까지는 수학Ⅲ이었던 이름의 과학고 과목이 제7차 교육과정부터는 고급수학으로 바뀌었고, 2011교과 교육과정에서는 급 수학 Ⅰ급 수학 Ⅱ로 나뉘었다.
  • [26] 중학교 수학을 압축해서 고등학교 수학을 배우는데 꼭 필요한 것만 모은 구성이다. 말 그대로 '고등학교 기초수학'. 중학교를 검정고시로 패스한 경우나 기초학습 미달학생들을 위해 만든 교과서로 보인다. 그때 가서 중학교 수학을 나가자니 너무 번거롭기 때문. 다만 이 과정은 특성화 고등학교에서만 적용되고, 일반 고등학교는 기초반을 따로 편성한다. 시중에서의 문제집은 개념원리 말고는 거의 없다고 봐도 좋으니 개념원리 기초수학편을 사면 된다.
  • [27] 대대적인 내용 개편이 있었다. 여기서의 수학 Ⅰ수학 Ⅱ는 이름만 수학 Ⅰ과 수학 Ⅱ이고, 내용상으로는 각각 이전 과정의 고등수학/수학 Ⅰ과 비슷한 위치에 있다고 보면 된다. 수학 Ⅱ는 고등수학 하의 반, 수학 Ⅰ의 반이다.
  • [28] 순열과 조합 포함
  • [29] 일차변환 단원이 삭제되었다.
  • [30] 과학고및 일반고 수학특성화가 이수하며, 2007 개정 교육과정시기의 일반고 과정이었던 행렬과 일차변환이 승격되었다.
  • [31] 이것도 과학고및 일반고 수학특성화가 이수하며, 2007 개정 교육과정시기의 과학고 과정이었던 고급수학이 여기에 해당된다.
  • [32] 상기 둘은 경기도 한정으로 교육청에서 직접 편찬하여 배운다. 쉽게 이야기해서 교육청에서 만든 문제집이다.
  • [33] 지금도 일본에서는 초등학교(소학교) 과정의 수학은 산수(算数)라고 부른다.
  • [34] 단적인 예로 아직 번역이 되지 않은 게임이나 이라든지..
  • [35] 사실 일상에서는 사칙연산만 알면될것같지만 현실에서는 함수나그런것이 주변에서 분명히 쓰이고 있다. 보험만 하더라도 갱신할때 비용증가에 함수나 방정식을 적극적으로 이용하고 있다. 하지만 쓰여있다시피 공부해야만 아는것은 아니다.
  • [36] 이건 우리나라만 그런 것이 아니라 대부분의 경제발전의 후발주자들에게서 공통적으로 나타나는 문제이다. 옆나라 일본도 비슷한 비판이 많다.
  • [37] 사실 '수학이 논리력을 길러준다' 란 명제에 대해서 단골로 나오던 비판이 그냥 숫자놀음 계산놀음인데 그걸로 어떻게 논리력이 길러지냐 는 비판이다. 수학의 본질을 모르는 발언이라고 할 수 있지만 애석하게도 지금까지 우리 나라의 수학 교육 과정이 이런 식이었기 때문에 틀린 말이 전혀 아니다..
  • [38] 2011학년도 대학수학능력시험까지는 수학1, 학2 그리고 선택과목 미분과 적분or률과 통계or산 수학으로 존재했지만 교육과정이 바뀌어서 배우는 범위와 풀어야 하는 문제집만 괜히 늘어났다.
  • [39] 물론 위에 서술한 자판기식 테스트가 큰 이유다.
  • [40] 하지만 수학은 너무나도 당연한 걸 공리로 만들고 그것을 토대로 다른 당연한 것을 정립하는 학문이다. 어쩔 수 없는 일.
  • [41] 일단 직업은 수학자지만 별 관련은 없다.
  • [42] 일본 계산콘테스트 우승자, 공 각도계산부터 선수가 멈출 수 있는 위치까지 계산한다.(...)
  • [43] 수학은 신의 언어라며 칭송한다. 실제로 작중에 잠깐 지나가는 장면을 보면 정말 상당한 실력을 보유한듯.
  • [44] 공식 설정에 의하면 수학 천재. 실제로 대사를 보면 수식에 대한 말을 굉장히 많이 한다.
  • [45] 한국판 한정으로 디아블로 3에 등장한 대사 중 "수학하는 놈들! 저리 꺼져라! 꺼져!"라는 몬더그린이 흥했다. 원래 대사는 "사악한 놈들! 저리 꺼져라! 꺼져!"
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