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전자기학

Contents

1. 일반적인 설명
2. 맥스웰 방정식 4개의 식으로 끝나는 설명
3. 기타
4. 전자기 포텐셜 벡터
5. 참고할 만한 도서


컴퓨터, TV, mp3, 핸드폰까지 전자기학이 안들어간 전자기기는 없습니다.[1]

1. 일반적인 설명


이전에 분리되어 있던 전기력과 자기력을 제임스 클러크 맥스웰이 통일해 전자기력을 정립하면서 같이 정립한 것이 전자기학이다. 맥스웰을 빼고서 전자기학을 언급하기는 어렵다. 아래의 4개의 방정식[2]으로 심플하게 정리해 준 게 이 사람이다. 그렇다고 배우는 입장에서도 심플하다고 생각하면 오산이다. 간단한 법칙 단 세 개로 정리되는 턴역학에 수많은 이과생들이 얼마나 피를 토하고 있는지를 생각해 보자.

물리학, 기공학이나 전자공학도라면 무조건 마스터해야 하며 맥스웰의 방정식을 이용하여 주어진 조건 하에서 고차원적으로 응용을 할 수 있어야 한다.

맥스웰은 물리학 역사상 최고의 천재 과학자 중 하나임에는 이견이 없지만 뉴턴이나 아인슈타인과 같은 과학자들과 비교하면 사실 인지도가 일반인에겐 떨어지는 것이 사실이다. 오히려 어떻게 보면 맥스웰이 유명하지 않은 이유는 맥스웰의 방정식이 깔끔하고 거의 완벽하여[3][4] 이견의 여지가 (거의)없기 때문에 언급될 일이 별로 없어서 이다.

하지만 물리학을 좀더 배우기 시작하고 슬슬 장 이론이나 상대성 이론에 다다랐을때는 뉴턴의 역학보다 오히려 자연계의 현상을 더 잘 설명하는 학문이라는 것을 알게된다. 그리고 그 심오함과 깔끔함에 감탄하게 된다.[5]

빅뱅이론에서도 맥스웰을 깐 생물학자 에이미에 대한 물리학자 4명의 반응이 적절한 예라고도 볼 수 있겠다. 할 말을 잃거나, 천생연분을 차버리거나.

간단히 말해 식 4개를 약 500페이지에 걸쳐 죽도록 배우는 학문.

2. 맥스웰 방정식 4개의 식으로 끝나는 설명

이 문단은 맥스웰 방정식(관리) 항목으로도 들어오실 수 있습니다.
아래의 미분형과 적분형 식은 발산 정리스토크스의 정리[6]를 이용하여 서로 유도할 수 있다. 미분형에서 나오는 ▽ 표시는 .
⋅은 발산, ×는 회전, 적분기호의 고리는 닫힌 공간을 의미한다.

미분형
$ \left\{\begin{matrix} \nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho \over \epsilon_{0}} \: \: \: \: \: \: \, \: \: \: \: \: \: \, \: \: \: \: \: \: \, \: \: \: \, \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \: \: \: \: \: \: \, \: \, \: \: \: \: \: \: \, \: \: \: \: \: \: \, \: \: \: \, \\ \nabla \times \mathbf{E} = - {\partial \mathbf{B} \over \partial t} \: \: \: \: \: \: \, \: \: \: \: \: \: \, \: \: \: \, \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0} (\mathbf{J} + \epsilon_{0} {\partial \mathbf{E} \over \partial t} ) \, \, \end{matrix}\right. $

적분형
maxwell_integral_2.png
[PNG image (14.38 KB)]



첫번째 식을 요약하자면

전기장 안에는 근원이 되는 뭔가가 있다(..)이다.
그 뭔가가 흔히 말하는 (+),(-) 전하. 그 전하의 양이 우변에 있다. 이 식으로 나타나는 특징중 하나가 (+)극과 (-)극은 분리가 된다.

흔히 중고등학교때 배우는 전기장의 근원에 관한 실험 법칙인 롱의 법칙에서 유도되었다. 쿨롱의 법칙은 원거리간에 힘이 작용한다는 발상이지만, 이것을 장이론으로 확장하면 약간 사고의 전환이 필요하다. 전하가 주위에 장을 만들고 이 장이 다른 전하와 (근접)상호작용한다는 발상으로 진화한다. 폐곡면 안 공간상에 전하가 존재하고 이 전하에게서 전기력선이 나온다고 했을때, 이 전기력선의 총 수를 구하는 걸로 전기장의 세기를 계산할 수 있다. 적절한 가우스법칙의 적용과 적분식을 적절한 가우스 정리로 미분식으로 바꿔버리면 첫번째 식이 도출된다. HIGH TOP 같은 참고서에는 이 가우스 법칙이 나와있지만, 당연히 고등학교 수준에서는 무리.

두 번째 식을 요약하면

자기장 안에 근원은 없다. 즉, 자기장은 순환하는 형태다.
이 식은 자기장에 대한 실험 법칙인 비오-사바르 법칙에서 유도되었다. 자기장에 대한 가우스 법칙이라고도 한다. 자기장 안에 근원이 없다는 것은 쉽게 말해, N극과 S극은 분리되어 따로 존재하지 않는다[7]라는 뜻이다. 자석을 아무리 쪼개도 N극과 S극이 나눠지지 않고 N극, S극을 가진 두개의 새로운 자석이 되는 것이 바로 이 두 번째 식에 의한 현상이다.

물리학자들은 자기장 연구 초기에, 양전하와 음전하가 따로 존재하여 전기장의 근원이 되는 것 처럼 자기장의 근원이 되는 모노폴(자기단극자), 즉 단독으로 존재하는 N극이나 S극을 가정했다. 하지만 두 번째 식에 따르면 모노폴은 없다. 그런데 두 번째 식은 실험의 결과를 토대로 만든 모노폴이 없는 환경에서의 경험적인 식이지, 모노폴이 존재하지 않는다라고 단정지을 수는 없다. 오히려, 모노폴의 존재는 물리학적으로 아주 중요한 전하량의 양자화를 설명할 수 있기에, 적잖은 물리학자들은 모노폴의 존재를 믿고 있다. 자세한 내용은 모노폴 항목 참조. 아직 공식적인 모노폴의 발견은 없었지만 모노폴 발견을 위한 연구가 진행 중이며, 빅뱅 초기에는 자기단극자가 존재하던 시기도 있었다는 이론도 있다.

세 번째 식을 요약하자면

자기장이 변화하면 그 회전변화 중심에 전기장이 생긴다.
페러데이의 법칙. 한 마디로 발전기의 원리다.

네 번째는....

전류가 흐르거나 전기장에 변화가 생기면 그 회전변화 중심에 자기장이 생긴다.
전류가 흐를 때 자기장이 생성된다는 앙페르의 법칙에 맥스웰이 전기장의 변화도 자기장을 만든다는 내용을 추가한 것.

전류가 흐르는 도선 주위에 자기장이 생기는 것은 쉽게[8] 받아들일 수 있지만, 전기장의 변화가 자기장을 발생시키는 개념은 의외로 어려운 개념이다. 다만 실험으로서의 증명은 초등학교 과학에서 자석으로 이뤄지고 있다.

원래 이 식은 전류 주위에 자기장이 발생한다는 기본 개념 위에서 출발한다. 즉, 전류 주위에는 자기장이 발생한다가 기본이다. 다음으로, 어느 빈 공간을 생각하자. 이 공간 안에 전류는 흐르지 않는다. 그러나 전기장이 존재하고 이 전기장이 시간에 따라 변화하고 있다. 공간 안에 전하가 존재하지 않고 → 또한 전류가 존재하지 않는데 → 전기장이 변화하는 것 만으로도 자기장이 발생하네? → 그럼 전기장이 변화하는 것을 전류가 흐르는 것으로 생각하자! 이걸 변위전류라고 부르는데, 허공에 변화하는 전기장을 걸어 주면 그 변화하는 전기장이 자기장을 만들고, 전기장의 세기가 변화하는 정도가 일정하지 않으면 그 변화하는 자기장이 또 전기장을 만들고... 하는 식으로 전기장과 자기장이 무한반복을 이루며 공간을 퍼져 나간다. 바로 이런 현상을 전자기파라고 한다.

맥스웰이 손 보았다 하는 것은 바로 이 전기장의 변화를 '변위 전류'란 개념으로 만들어서 식에 포함시킨 것을 말한다. 근데 맥스웰 본인도 변위전류를 직접 증명할 수 있는 방법은 언급을 못 했고, 그걸 증명하는 방법으로 언급한 것이 위에서 말한 전기장과 자기장의 무한루프. 맥스웰의 이 예상은 30여년 뒤에 헤르츠라는 물리학자가 증명하고, 그 증명 과정엔 물리2 이상을 배운 학생들은 치를 떠는 RLC 회로가 들어가며, 이 물리학자의 이름은 진동수의 단위인 Hz에 박히게 된다. 전자기파 항목 참고.

참 쉽죠? 아래를 보면 그 생각이 싹 사라 질지도.

3. 기타

무지막지하게 어렵다. 아니 어렵다는 말을 초월하는 어려움을 가지고 있다.

위 간단한 요약을 보고 뭔 말인지 알 것 같은 당신. 이것은 단순 개인이 이해를 요약한 것이지 완전한 내용이 절대 아니다. 절대적인 내용은 스스로 전공서적으로 보며 깨우쳐야 한다는 것을 일러둔다. 보통, 전자기학에서 처음 만나는 장벽은 맥스웰 방정식에서 사용하고 있는 벡터 연산자들 자체가 이해가 잘 되지 않는 것이다. 즉, 사칙연산을 잘 모르는 상태에서 미적분을 공부하고 있는 상황이라 할 수 있다. 참고로 어느 전공서적에도 벡터 연산자 기울기(Gradient)와 발산(Divergence), 회전(Curl)에 대하여 명쾌하게 설명해 놓은 책이 없다.[9]즉, 스스로 깨달아야 된다는 뜻인데.무공도 아니고 이게 되었을 때 대개 석박사 과정을 밟고 있는 자신의 모습을 볼 수 있다(...)[10] 적분형으로 가면 닫힌 공간을 추상적으로 생각해내야 하는 영역으로 넘어간다.[11]

위의 두 파트, 각 4개의 식들을 감각이나 느낌으로서 이해한다면 전자기파의 움직임을 설명하는데 한발짝 더 다가갈 수 있다! 전자기파의 움직임을 설명하는 파동 방정식은 저 시변장 맥스웰 방정식을 토대로 유도하며 페이저를 통해 헬름홀츠 파동 방정식까지 이끌어 낼 수 있다. 벡터로 표현된 파동 방정식과 응용된 관련 식들을 보고 있노라면 심히 아스트랄하다. 당연하겠지만 편미분 방정식으로 도배된다. 본격 전자기학 갓 입문한 신입생 겁주기 시험 볼 때 수학적 문제는 조건들을 보고 어떻게든 푼다고 해도 감각이나 느낌으로 이해하는게 굉장히 힘들다.

위의 첫 번째와 두 번째, 세 번째와 네 번째의 식을 비교하면 대칭인 것처럼 보이지만 뭔가 조금씩 다르다. [12] 물리학자들은 저 0이나 비어있는 부분이 없는 것이 아니라 다른 식처럼 뭔가 대칭적인 형태가 있을 것이라 예측하고 있다. 사실 저 두 식이 대칭성이 없다는 것이 그 전까지의 물리학의 대전제인 '갈릴레이의 상대성'에 죽빵싸대기를 날리는 사실이라 당시 맥스웰이 욕 좀 먹었다고. 그리고 이 맥스웰의 이론과 뉴턴역학을 화해시키는 과정에서 상대성 이론이 등장하게 된다.

맥스웰의 방정식은 좀 더 상위의 통일된 이론을 여러 측면에서 보았기 때문에 4가지 식이 나온 것이라고 한다. 군 이론의 도입과 차원의 확장을 통해 맥스웰의 방정식은 QED(약한 핵력을 설명하는 이론)와 합쳐져서 중력을 제외한 3가지 자연계에 존재하는 힘을 설명할 수 있는 식으로 발전하게 된다.

적어도 맥스웰의 방정식을 이해하기까지는 미적분, 벡터해석, 복소함수 등의 수학적 기초와 기초적인 역학과 전자기학에 대한 이해가 필요하다. 이 때문에 대부분의 전자기학 책에는 1장이 벡터해석을 다루고 있고, 모 대학 전자과의 한 교수는 아예 한 달동안 전자기학 시간에 전자기학은 거들떠보지도 않고 벡터해석만 가르칠 정도. 보통 대학 물리학과 1~2년 과정 안에서 맥스웰의 방정식에 다다르며 3학년쯤에는 그 응용을 배운다. 공대의 경우에는 전기나 전자과 쪽에서 1~2년에 걸쳐서 배우며, 전공과목 중 이것에 대한 응용이 매우 많다.(..), 초고주파 공학이나 안테나 이론, 전자 물성 물리학도 모두 전자기학을 베이스로 한다.

대체로 전기기사를 따려는 수험생의 발목을 잡는 첫번째 장애물로 평가받는다. 외워야 할 것도 많고, 식도 복잡하고, 단순 암기로는 과락이나 간신히 면하는 경우가 많아서...

4. 전자기 포텐셜 벡터

A가 전자기 포텐셜 벡터, φ는 전위.

사실 맥스웰이 처음 자신의 방정식을 제안했을 때, 식은 4개가 아니라 단 2개였다(!) 맥스웰은 전자기 포텐셜 벡터라고 하는 4차원 벡터를 정의하면 훨씬 더 깔끔하고 아름다운 단 2개의 식으로 전자기 법칙이 요약됨을 깨닫고, 이 식을 맥스웰 방정식으로써 발표하지만, 당시의 물리학자들은 전자기포텐셜 벡터가 무엇을 의미하는지, 어떻게 하면 측정할 수 있는지조차 모르는 상황이었다.[13] 결국 하인리히 루돌프 헤르츠는 실제로 측정가능한 것 이외에는 인정할 수 없다며 당시 측정가능했던 물리량인, 전기장과 자기장으로 이루어진 우리가 익히 알고있는 4개의 맥스웰 방정식으로 후퇴(?!)하게 된다.

그러나 이후 폴 디랙에 의해 전자기 포텐셜 벡터가 전자의 파동함수의 위상의 그레디언트 벡터를 의미한다는 것이 밝혀지고, 주변의 전자기 환경에 따라 전자의 위상에 차가 생긴다는 것이 확인되면서 [14] 전자기 포텐셜 벡터가 실존한다는 것이 실험적으로 증명되었다. 내가 무릎을 꿇었던 건 추진력을 얻기 위함이었다

교과서에서 배우는 전자기학은 이해하기 쉽게 하기 위해 전기장과 자기장을 사용한 4개의 방정식으로 표현되어 있지만 현대 물리학에서는 맥스웰 방정식이라고 하면 당연하게 전자기 포텐셜 벡터를 사용한 2개의 방정식을 떠올린다(단 학부수준에선 두 개념의 중간쯤. 둘 다 가르친다.). 그러나 이 2개의 방정식을 완전히 이해하기 위해서는 게이지 이론에서 떨어진 콩고물인 게이지변환을 이해하여야 한다. 또한 상대론의 지식이 필수적이지는 않지만 특수상대론을 이해하고 있다면 이 방정식을 이해하는데 큰 도움이 되고 일반 상대성 이론에 동원되는 기하학을 적용하면 식은 하나로 줄어든다. 물론 물리학적 해석을 위해선 골때리는 압축해제를 해야 하지만.


5. 참고할 만한 도서

일렉트릭 유니버스 (전기는 세상을 어떻게 바꾸었는가)

그밖에 비전공생들도 참고할 만한 쉬운 책들을 추가 바람

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  • [1] 전자과라는 현대문명의 최첨단을 달리는 공과의 기반이론은 100년 전에 이미 완성돼서 바뀌는 게 없다.
  • [2] 편미분 연립방정식이다.
  • [3] 최소한 눈에 보이는 스케일의 현상은(..) 완벽하게 설명할 수 있다. 하지만 원자 스케일까지 가면 이것조차 먹히지 않게 되고, 양자역학을 사용해야 한다.
  • [4] 고전물리학이라는 게 뉴턴역학+전자기학이다. 이 범위를 넘어서는 게 현대물리학에서 대두되는 상대성이론양자역학이다. 물리학참조.
  • [5] 하지만 이 학문도 결국 뉴턴의 이론에 일부 기반을 두고 있다는 사실을 잊지말자.
  • [6] 밀레니엄 문제 중 하나인 나비에-스톡스 방정식을 만든 사람 중 하나인 조지 스톡스(Sir George Stokes, 1st Baronet KRS)가 만든 것이다.
  • [7] 철가루를 자석위에 뿌리면 자기력선을 간접적으로 볼 수 있는데 자기력선은 항상 N극에서 나와서 S극으로 들어가는 형태.
  • [8] 제대로 설명하려면 상대성 이론까지 동원되어야 한다.
  • [9] 다만 어지간한 미적분학 책에는 대부분 나와 있다. 그리고 물리학과에선 수리물리학이라고 해서 따로 물리학에 필요한 수학을 배우는데, 거기엔 벡터 연산자들의 직관적인 정의부터 계산법까지 매우 명쾌하게 설명하고 있다. 다만 교과서 조합에 따라 수리물리에서 벡터 연산자를 조우하는 때보다 전자기학에서 벡터 연산자를 마주하는 순간이 더 이를 순 있다. 그래서 대부분의 수리물리 교재는 벡터 연산자가 앞쪽에 소개되고, 전자기학은 수리물리보다 한 학기 뒤에 시작하도록 커리큘럼이 짜여있는 경우가 많다.
  • [10] 구배와 발산의 연산자체가 공간에 대한 수학인데다가 보이지 않는것을 보이는 것에 빗대서 설명할 수 밖에 없으니(..) 혹시 계산 방법만 알고 전부 이해했다고 착각하면 안된다.
  • [11] 당장 위의 적분형 식을 보면, 좌변의 적분기호에 다 고리가 있다!
  • [12] 두 번째 식 같은 경우 우변이 0이고, 세번째 식은 항 하나가 보이지 않는다.
  • [13] 그 물리적 의미를 이해할 수 없지만, 정의하면 식이 들어맞고, 또한 물리적으로 올바르다는 점에서 양자역학의 파동함수와 비슷한 맥락이었다.
  • [14] 아로노프-봄 효과 참조. 쉽게 말하면, 전자기장이 0인 지점에서도 전자기 퍼텐셜에 의한 물리적인 효과(파동함수의 위상차)가 발생할 수 있는 것이 관측되었다.

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last modified 2015-11-27 15:42:00
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