정다면체

正多面體/Regualr Polyhedron/Platonic solid

기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종.

사전적 정의는 볼록 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형을 말한다. 주사위에서는 공평함을 위해 정다면체를 쓰는 일이 많다. 엄밀히는 반정다면체의 쌍대다면체등도 공평하게 쓸 수 있지만 말이다. 케플러는 이 정의를 확장해 정다각형을 정다각별로 확장하였고, 푸앵소는 분수번 만나는 것으로 확장하여 또다른 입체를 만들었다. 이 입체들은 별처럼 생겼고 케플러-푸앵소 다면체로 불린다. 영어에서는 플라톤 다면체는 볼록한 정다면체만을 말하고 Regualr Polyhedron은 케플러와 푸앵소가 찾은 다면체를 포함하는 말로 쓰인다.

오로지 다섯 개의 정다면체만 존재한다.

다면체에서 최소한 세 개의 면이 있어야 하나의 꼭지점이 만들어진다. 이때 각 꼭지각의 합은 360°보다 작아야 한다. 정다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같고 이런 꼭지각이 최소한 세 개로 구성되므로 각 꼭지각의 크기는 360°/3 = 120°보다 작아야 한다.

내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐이다.

• 정삼각형: 내각의 크기가 60°이므로, 한 꼭지점에 모일 수 있는 면의 개수는 3개, 4개, 5개. 이것은 각각 정사면체, 정팔면체, 정이십면체에 해당한다.
  
  
• 정사각형: 내각의 크기가 90°이므로, 한 꼭지점에 모일 수 있는 면의 개수는 3개. 이것은 정육면체에 해당한다.
  
  
• 정오각형: 내각의 크기가 108°이므로, 한 꼭지점에 모일 수 있는 면의 개수는 3개. 이것은 정십이면체에 해당한다.
  

• 정사면체 : 4개의 정삼각형으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 3개. 정삼각뿔.
  
  
• 정육면체 = 큐브 : 6개의 정사각형으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 3개.
  
  
• 정팔면체 : 8개의 정삼각형으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 4개.
  
  
• 정십이면체 : 12개의 정오각형으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 3개.
  
  
• 정이십면체 : 20개의 정삼각형으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5개.
  
  
  

• 준정다면체