E D R , A S I H C RSS

페르마의 대정리

Quaestio VIII.
Propositum qudratum dividere in duos quadratos.
Imperatum sit ut 16 dividatur in duos quadratos. Ponatur primus 1Q. Oportet igitur 16. - 1Q. aequales esse quadrato. Fingo quadratum a numeris quotquot libuerit, cum defectu tot unitatum quod continet latus ipsius 16. esto a 2N. - 4. ipse igitur quadratus erit 4Q. + 16. - 16N. haecc aequabuntur unitatibus 16. - 1Q. Communis adiiciatur utrimque defectus, et a similibus auferantur similia, fient 5Q. aequales 16N. et fit 1N. 16/5. Erit igitur alter quadratorum 256/25. alter vero 144/25. et utriusque summa est 400/25. seu 16. et uterque quadratus est.
Observatio domini Petri de Fermat.
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.Hanc marginis exiguitas non caperet.
문제8: 제곱수를 두 제곱수로 나누기 위해.
문제가 16을 두 제곱수로 나누는 것이라고 하자. 먼저 x²을 둔다. 그러면 16-x²이 제곱수여야 한다. 임의의 수에서 제곱해서 16이 되는 수를 뺀 것(2x-4라고 하자)에 제곱의 형태를 취하자. 2x-4의 제곱은 4x²-16x+16인데 이를 16-x²과 같다고 한다. 양쪽에서 공통으로 모자란 부분을 더하고 같은 양만큼 없애면(즉 양변을 정리하면) 5x²=16x가 되고, x=16/5가 된다. 따라서 하나를 256/25로 하고 다른 하나를 144/25로 두면 그 합은 400/25, 즉 16이 되고 둘은 각각 제곱수다.
피에르 드 페르마 경의 관찰
하지만 세제곱수를 두 세제곱수로, 혹은 네제곱수를 두 네제곱수로, 또 일반적으로 제곱보다 큰 거듭제곱수를 동일한 지수의 두 거듭제곱수로 나눌 수 없는데, 나는 이에 대한 실로 놀라운 증명법을 발견했다.
그걸 여기다 쓰기에는 책의 여백이 너무 좁다.[1][2]
모든 것의 원흉의 원흉.

Contents

1. 개요
2. 정리를 증명합니다. 안 되잖아?
2.1. 문제의 기원
2.2. 정리가 쓰러지지 않아
2.3. 틀렸어 이제 꿈이고 희망이고 없어
2.4. 세기말 츤데레 전설
2.5. 내가 무릎을 꿇었던 건 추진력을 얻기 위함이었다
2.6. OTL
2.7. 그 증명을 보여주세요
2.8. 천재, 상에 파묻히다
2.9. 해결하지 못한 의문
2.10. 우리들의 문제를 돌려줘
3. 이 정리에 대한 말, 말, 말
4. 새로운 증명
5. 기타 등등
6. 미디어

1. 개요


방정식 xn + yn = zn (n>2인 자연수)에는 정수 해의 쌍 (x,y,z) 값이 존재하지 않는다는 수학정리. [3] 그리고 400여년에 걸친 초대형 낚시 수학계의 듀크 뉴켐 포에버 수학계의 희대의 떡밥이 될뻔했던 것


'페르마의 마지막 정리(FLT)'[4]라고도 알려져 있다. 단, 여기서 '마지막'이란 것은 페르마가 마지막으로 내놓은 정리가 아니라, 마지막까지 증명되지 않았던 정리라는 의미다.

페르마는 증명하지 않았기 때문에 저 문구는 추측이라고 부르는 것이 타당하다고 할 수 있다. 하지만 페르마가 자신이 증명해 냈다는 주장을 존중하여 일반적으로 페르마의 정리라고 부른다. 그리고 이 정리는 20세기를 넘기기 직전인 1995년, 영국의 수학자 앤드루 존 와일스 경(Sir Andrew John Wiles)에 의해 증명되었다.

수학 역사에서 존재했던 여러가지 난제들 중 가장 유명한 난제인데 누가 봐도 겉보기에는 쉬워 보이는 지문지문이 쉽기로는 라츠 추측이 더 쉬운데 증명 상태의 현실은...[5]인데도 불구하고 장장 400여 년에 가까운 세월 동안 그 누구도 증명하지 못했기 때문이다.

간단하게 설명하면 수학 역사상 최대, 최흉, 최악의 난제였던 문제, 400여년에 가까운 세월동안 유수의 수학자들을 좌절 시시키거나 골로 보낸 문제였고 이를 풀기위해 400년 가까이 축적된 현대 수학의 정수가 총동원 되어서야 해석학적으로 겨우 증명되었다.[6]

2.1. 문제의 기원

프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 자신의 연구 결과를 출판하려는 시도를 하지 않고 스스로 알아낸 것만으로 만족했기 때문에, 페르마가 다른 수학자들과 주고받은 편지에서 소개한 일부 내용 이외의 그의 연구 내용은 거의 알려지지 않았다. 그러다 그의 사후 그의 장남인 클레망사뮈엘(Clément-Samuel)은 페르마가 오판토스정수론 책인 리스메티카에 낙서처럼 달아놓은 주석을 정리해서 책으로 출판했고, 이를 통해서 페르마가 한 연구가 비로소 밝혀졌다. 그런데 아리스메티카에서 임의의 제곱수를 서로 다른 두 제곱수의 합으로 표현하는 문제에 달아놓은 주석이 바로 악명높은 페르마의 대정리였다.

이 문제는 피타고라스의 삼각수와 관련된 문제, 즉 방정식 x2 + y2 = z2 을 만족하는 해 (x, y)를 z에 관하여 나타내는 문제다. 위 방정식을 만족하는 해는 어떤 정수 a, b 에 대해서 (x , y , z) = (a2 - b2 , 2ab , a2 + b2 ) 혹은 그들의 k배라는 것을 고등학교 수준에서 비교적 쉽게 풀어서 알 수 있다. 따라서 (x, y)={(a2 - b2 )/(a2 + b2 ) * z , (2ab)/(a2 + b2 ) * z}로 나타낼 수 있다. 아리스메티카에서 제시하는 해는 여기서 b=1을 대입한 값인 (x, y)={(a2 - 1)/(a2 + 1) * z , (2a)/(a2 + 1) * z}다.

a와 b는 임의의 정수이므로, 이 해는 무한히 많게 된다. 그런데 페르마는 이 문제 부분에 지수가 3 이상일 경우에는 유리수 해[7]가 없다고 주장하면서도 이것을 증명하는 대신 "더 이상의 자세한 설명을 생략"해버림으로써 300여년에 걸친 낚시가 시작되었다.

수학자만 아니라 일반인들 역시 헤아릴 수 없을 정도로 많이 낚였다. 겉으로 보기에는 대단히 쉬워보이는 문제의 외형, 프로 수학자들도 손들었다는 문제의 난이도, 그리고 17세기의 아마추어도 푸는 문제를 내가 못 풀게 없다는 착각 등등이 일을 크게 만든 것이다. 낚인 사람 중에는 자살한 사람, 정신이상이 생긴 사람, 심지어는 결투를 벌인 사람도 있다고 한다. 누구랑 결투를 한 거야


페르마는 법조인이었으나 뛰어난 아마추어 수학자이기도 했으며, 어려운 문제를 증명하고는 지인들에게 증명에 대한 설명은 없이 '나 이거 증명했으니 풀어 봐라'는 식으로 골탕먹이는 것을 즐겼기 때문에 다른 수학자들은 저 문제가 오래지 않아 해결될 것으로 생각했으나 생각 이상으로 복잡한 문제인 것으로 밝혀졌다.

2.2. 정리가 쓰러지지 않아

문제가 나온 후 한동안은 아무도 손을 대지 못했다. 수많은 대 수학자들이 손을 댔지만, "으아니 챠! 왜 증명이 안 되는 고야!", "이건 미친 짓이야! 난 이 미친 증명을 관두겠어!"라는 비명만 남기고 쓰러져갔다.

이때 나타난 수학자가 레온하르트 오일러다. 그는 매의 눈으로 자료를 조사하기 시작했고, 곧 페르마 본인이 n=4일 때의 증명을 해놓았다는 사실을 밝혀냈다. 페르마 사후에 출판된 아리스메티카(이 문제가 나온 바로 그 책)의 주석에 써있었는데, 다들 그것을 못 보고 지나쳤던 것이다. 등잔 밑이 어둡다 비록 '여백이 좁다고' 제대로 증명을 끝내지 않았긴 했지만, 수학자라면 누구나 그걸 보고 증명해낼 수 있을 정도로는 써놨다고 한다.

이것을 토대로 오일러는 'n=3일때 정리는 성립한다'를 귀류법으로 증명했다. 이 방법은 n=4일 경우에 사용되는 증명법과 본질적으로는 동일하다. 그러나 n=5일 때의 증명은 끝내 해내지 못했고, 페르마의 옛 집을 동료수학자까지 동원해서 샅샅이 뒤졌음에도 불구하고, 모든 n값의 증명은 찾아내지 못했다.[8]

이후 많은 수학자들이 도전했지만, 별다른 성과는 나오지 않았다. 그때 소피 제르맹(Marie-Sophie Germain)이라는 여성 수학자가 등장했고, 여자는 수학같은 어려운 학문을 못한다는 편견[9]을 비웃듯이 성과물을 내놓았다. 그녀가 이 업적에 사용한 것은 소피 제르맹 소수와 소피 제르맹 정리이고[10] 이 덕분에 지금까지 골머리를 앓고 있던 n=소수인 경우의 상당부분이 증명되었다. 'n=5일때 성립한다'를 포함한 수많은 증명이 소피 제르맹의 발견을 이용해서 증명된 것이다.

그러나 정작 원론적인 문제인 모든 n값이 성립하지 않는다는 것은 증명되지 못한다. 만약 'n=소피 제르맹 소수가 아닌 소수'라면 답이 없다는 거다. 수학자들이 어떻게든 노력해서 n=소수인 경우에도 증명이 가능하도록 하는 규칙을 찾아내기는 했지만, 그게 안 통하는 소수도 있었다. 그런 게 몇 개만 있다면 수작업으로 밤을 새워서라도 증명할 수 있겠지만, 그런 소수가 무한개 있다는 문제가 있었다. (중학교 1학년 때 배우지만, 수의 개수는 무한하고 소수를 늘어놓은 수열에서는 아무런 규칙이 성립하지 않는다.) 이 불행한 진실은 에른스트 쿰머(Ernst Eduard Kummer)가 증명했는데, 그는 n이 정규소수일 경우의 증명을 완성했지만 n이 비정규소수일 경우 하나하나 수작업으로 풀어야 한다는 사실을 발표했던 것이다. 망했어요. [11]

덤으로 이 증명을 연구하는 과정에서 'x4 +y4 =z4 은 양의 정수해를 갖지 않는다', 'x4 -y4 =z2 는 정수해를 갖지 않는다'등의 다른 것들만 증명되었다. 이런 '다른 것들'의 수는 매우 많아서, 그것만으로도 수학계에 충분히 공헌했다고 할 수 있다. 그런데 증명을 못했잖아? 안될거야 아마

2.3. 틀렸어 이제 꿈이고 희망이고 없어

쿰머가 불편한 진실을 발표한 이후 점점 수학계에서 이 문제에 대한 관심은 멀어져갔으며, 전문 수학자들은 이에 대해서 페르마가 틀렸다 정도로 생각하게 되었지만 파울 프리드리히 볼프스켈이라는 수학자가 이 문제를 증명하는 사람에게 현상금 10만 마르크를 주겠다고 선언하면서 재야의 아마추어 수학자들에게 이 문제가 알려지게 된다.[12] 수많은 이들이 상금을 위해서 해법을 투고하기 시작했지만 모든 증명이 기본적인 오류를 내포하고 있었다. 물론 자기가 증명했다고 주장하는 수많은 유사수학자들도 마찬가지다.

프로 수학자들은 이 문제를 도외시하긴 했지만, 실제로는 자신이 없어서 그랬다고 봐야 할지도 모른다. 유명한 수학자인 카를 프리드리히 가우스에게 왜 이 문제를 안 푸냐고 사람들이 묻자, "적어도 2년 이상의 시간을 투자해야 하지만 실패할 게 분명한 일에 겨우 2년 갖고? 그럴 순 없다."고 답한 바가 있다. 아서 포기스의 1957년작 단편소설 '악마와 사이먼 플래그'에서는 악마와 외계인(미분방정식을 암산으로 푸는맙소사 외계인이었다.)이 이 문제에 도전했다가 실패했다.그것도 못푸냐 외계인당시 사람들이 페르마의 마지막 정리를 어떻게 생각했는지를 알려주는 예다.

심지어 컴퓨터도 이 문제를 풀지 못했다. n이 무한히 많기 때문에 전부 계산할 수가 없었던 거다.

그러던 어느날 이 정리를 책방에서 발견하고, 이렇게 단순한 정리가 어째서 증명되지 않는지에 대해서 흥미를 가진 영국인 소년이 있었다. 이 사람이 바로 앤드루 존 와일즈(Andrew John Wiles).

그리고 40대가 된 그 소년은 1993년 6월 23일, 케임브리지의 학회에서 자신의 논문을 발표했고, 그것은 페르마의 대정리의 증명과정을 담고 있는 논문이었다. 수학계는 벌컥 뒤집혔고, 기자들은 그에게 인터뷰를 신청했으며, 세계의 신문은 1면 톱기사로 그의 사진을 실었다. 대체 어떻게 된 일일까?서프라이즈야 뭐야

2.4. 세기말 츤데레 전설

페르마의 정리가 증명되는 데는 현대수학의 모든 것이 필요했다. 와일즈가 이를 증명하는 데는 일본 타니야마-시무라의 추론이 결정적인 역할을 했다. 이 타니야마-시무라의 추론[13]은 수학의 다양한 분야에서도 서로 연관성이 있다고 생각하기 어려운 분야들의 다리 역할을 함으로서 당시에는 '만약 타니야마-시무라의 추론이 사실이라면' 이라는 전제 하에 나온 논문들이 많았다. 따라서 타니야마-시무라의 추론을 증명하는 것은 페르마의 정리를 증명하는것 뿐만이 아니고 사상누각과 같았던 새로운 수학 분야의 근간이 되는 것이었다. 게다가 이를 증명한다면 대통일 수학이라는 궁극적인 목표에 도달한 첫번째의 업적이 될 것이 확실했다.

그런데 수학자 게르하르트 프라이가 페르마의 정리를 타원곡선[14]의 형태로 변형을 시켰는데 이 식은 페르마의 정리가 틀렸다는 가정 하에 유도된 식이다. 이를 통해서 프라이는 타니야마-시무라의 추론이 맞다면 프라이가 유도해낸 타원곡선이 존재하지 않는 것을, 따라서 페르마의 정리를 만족하는 정수해가 존재하지 않는 것을 보였다. 즉 프라이는 타니야마-시무라의 추론을 증명하면 페르마의 정리 또한 부록으로 증명된다는 점을 증명한 것이다. 다만 프라이의 증명 과정에는 일부 완성되지 않은 부분이 포함되어 있었고, 그렇기에 이 증명은 엡실론 추측(Epsilon conjecture)으로 명명되었다.

이때 수학자들은 자신들이야말로 진정한 츤데레임을 증명하고 말았다. 프라이가 이 사실을 밝혀내기 전까지 프로 수학자들은 페르마의 마지막 정리가 어렵기만 하고 수학적으로는 별로 중요하지 않다며 관심이 없는 척 했지만, 프라이가 발표한 엡실론 추측을 통해 페르마의 마지막 정리를 정복할 가능성이 보였다는 소식을 들은 순간 마하 100으로 달려와서 논문 내용을 복사해 간 것이다. 곧바로 엡실론 추측을 풀기 위해 수많은 수학자들이 달라붙어, 당연하다는듯이 풀리지 않아그 모두를 좌절시킨끝에, 케네스 리벳(Kenneth A. Ribet, 통칭 켄 리벳)이라는 수학자가 고생 끝에 증명을 완성. 타니야마 시무라의 추측을 증명하는 순간, 페르마의 대 정리를 정복한다는 것을 확정지었다. 이를 통해 엡실론 추측은 리벳의 증명(Ribet's theorem)이라는 새 이름을 얻었으며, 리벳은 이 추측을 증명한 업적으로 1989년에 페르마 상(Fermat Prize)을 수상했다.

2.5. 내가 무릎을 꿇었던 건 추진력을 얻기 위함이었다


드디어 나타난 지난 400년간의 좌절을 끝낼 한줄기 희망 앞에, 수많은 수학자들이 도전을 시작했다.
허나, 이 희망은 새로운 절망을 위한 운명의 포석에 불과했다. 막상 타니야마-시무라의 추론이 증명되지 않았던 것이다!산 넘어 산 결국 사람들은 우린 안될거야 아마라고 말하며 포기하기 시작했으며, 이것은 켄 리벳도 마찬가지였다. 그러나 포기하지 않은 사람이 있었으니 그가 바로 앤드루 와일즈.

와일즈는 석사 학위를 이수한 후 우연히 '타원곡선'에 대한 내용을 이수했는데, 당연하게도 그때는 페르마의 마지막 정리와 타원곡선은 아무런 관련이 없었다. 그러니까 정말로 운이 좋게도 페르마의 마지막 정리 증명에 기초를 쌓은 셈. 그리고, 페르마의 마지막 정리에 도전한 와일즈는 7년동안 은둔형 외톨이처럼 자기 집 다락방에 처박혀서 연구에만 몰두를 시작했으며, 이런 와중에도 강의 준비 등 가르치는 일에는 충실했다고 한다. 거기에 다른 수학자들의 관심을 돌리기 위해서 다른 연구를 계속하고 있는 것처럼 위장할 목적으로 논문을 미리 작성해 놓고 6개월 간격으로 제출했다고 한다.

다만 그의 아내와 동료교수 한 사람은 그 비밀을 알고 있었다. 와일즈는 자신의 증명을 검증하기 위해 동료인 닉 카츠(Nick Katz)에게 검증을 부탁했던 것이다.

그런 연구 끝에, 그는 Modular Form 등등 듣기만 해도 정신을 4차원으로 보내버리는 현대수학[15]을 총동원하여 시무라의 추론을 증명했고, 결과적으로 페르마의 정리를 증명하게 된 것이다. 다만 와일스 교수가 이때 증명한 것은 준안정 상태의 경우만이고, 이것만으로도 페르마의 정리를 증명하기 위해서는 충분하다. 추가로, 완전한 타니야마-시무라의 추론의 증명은 1999년에 리처드 테일러(와일즈 교수의 제자)와 다른 수학자들의 공동연구로 이루어졌다.

그러나…

2.6. OTL

케임브리지에서 와일즈가 증명을 발표한 후, 수학자들은 검증을 위해 와일즈의 논문에 달라붙었다. 이 작업에 참가한 사람 중에는 와일즈가 앞서 검증을 부탁했던 닉 카츠도 포함되어 있었는데…,

증명에서 오류가 발견되었다!

닉 카츠는 과거에 자신이 검증할 때는 못 찾았던 오류를 찾아내고 뒷목을 부여잡았지만 이미 때는 늦었다. 매의 눈으로 검증 작업을 지켜보던 수학자들 사이에 소문이 퍼지기 시작한 것이다. 이 과정에서 일어난 소동에 대해서는 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.

전 세계의 수학자들이 열심히 설전을 벌이는 동안, 와일즈 본인은 다시금 은톨이 상태로 연구에 돌입했지만 성과를 얻지 못해 연구를 포기하려고도 했다. 그때 그가 외쳤으니.[16]


그는 드디어 해답을 찾아냈던 것이다.

2.7. 그 증명을 보여주세요

그 내용은 본 항목의 여백이 너무 좁아, 여기에 옮기지는 않겠다(…). 증명이 책 한권 분량이라 여기에 옮기려면 항목을 몇 개 분할해도 부족할 정도다. 증명파일은 PDF파일 109쪽, ZIP으로 압축한 용량이 9.4메가라는 압도적인 포스를 자랑한다. 페르마가 괜히 귀찮다고 넘어간게 아니었어 보고싶은 사람은 다운로드보기[17] 위에서 언급한 증명한 사람에게 10만 마르크를 지불한다는 것도 당시 10만 마르크가 여러 번의 디노미네이션을 거쳐 97년에 와일스가 수령한 것은 약 4만 달러 정도였다.

학구열에 불타 올라 이 증명을 구경해 보고 싶더라도 웬만하면 포기하는게 정신 건강에 좋다. 대학교 수학과 석박사과정 정도는 되어야 읽는 게 가능한 수준이다. 증명의 처음 두 줄은 이렇다.
An elliptic curve over Q is said to be modular if it has a finite covering by a modular curve of the for X0(N). Any such elliptic curve has the property that its Hasse-Weil zeta function has an analytic continuation and satisfies a functional equation of the standard type.

이 논문은 'elliptic curve', 'modular', 'finite covering', 'modular curve', 'Hasse-Weil zeta function', 'analytic continuation', 'standard type' 같은 표현이 당연히 무엇인지 알고 있다는 가정하에 쓰여 있다. 거기에 수많은 수학기호와 수식은 덤이다. 이러한 난해한 내용이 100쪽 넘게 이어진다고 생각하면 된다.

이 과정은 사이먼 싱이 지은 '페르마의 마지막 정리'라는 책에 자세히 나오니 참조하기 바란다.[18] 한국어판을 보실 분들은 배경지식이 거의 없는 사람이 번역했다는 것을 감안하고 보시라. 용어와 사람 이름 등 번역이 가히 아햏햏한 수준이다.

이 책 번역이 괴해서 버틸 수가 없는 분들은 '우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다'라는 폴 에어디시의 삶을 다룬 책을 읽길 추천한다. 폴 에어디시가 페르마의 정리가 해결되는데 관심이 많았던지라 와일스의 증명에 얽힌 이야기도 잘 나와있고 수학교육에 평생을 매진한 수학과 교수가 번역한거라 부록에 전문용어 해설도 잘 되어있다.

만약 고등학생이라면 『수학홀릭: 페르마의 마지막 정리』라는 책을 추천한다.[19] 책에서 설명하는 모든 개념이 페르마의 마지막 정리와 이어져 있으며, 고등학생 정도라면 쉽게 이해할 정도로 설명돼있다. 논술대비로 읽어봐도 후회하지는 않을책이다. 근데 이 책은 소설이므로 먼저 1권인 '수학걸'을 먼저 읽는것을 추천.[20]

참고로, n=4,3 의 특수해에 대한 증명은 비교적 초등적인 방법으로 가능하니, 이에 대한 증명을 먼저 찾아 보는 걸 추천한다.

영국 UKTV에서 다큐멘터리도 제작되었다.[21] 재생시간의 압박을 견딜 수 있다면 보시라


어쨌든 그렇게 해서, 페르마의 대정리는 드디어 증명되었다!!!

2.8. 천재, 상에 파묻히다

1995년 5월 증명이 완성된 후, 와일즈는 볼프스켈 상을 포함한 수많은 상을 받았지만, 수학계의 노벨상이라고 할 만한 필즈상을 받지는 못했다. 당연히 받아야 하는데 못 받은 이유는, 필즈상은 40세 이하의 젊은 수학자에게만 수여되는데 완벽한 증명을 낼 때 그의 나이는 41세였기 때문이다. 그러나 상을 안 주기에는 그의 업적이 너무나 대단했기 때문에 국제 수학자 연맹에서 1998년에 기념으로 은판을 만들어서 수여하였으며, 필즈상 수상자 공식 명단에는 그 사실이 분명하게 기록되어 있다.[22]

2000년에 와일즈는 대영 제국 훈장 2등급[23][24]을 받았으며, 왕립 학회 회원도 되었다. 그래서 그의 현재의 이름은 Sir Andrew John Wiles, KBE, FRS이다. KBE는 위에서 설명한 대영 제국 훈장 2등급이고, FRS는 왕립 학회 회원(Fellow of Royal Society)이라는 뜻이다.

그 이후에도 그는 계속 상을 받고 있으며, 대중매체에서는 '페르마의 마지막 정리를 증명한 사람'으로서 활약하고 있다. 스타 트렉에도 나왔을 정도.[25]

9999 Wiles라는 이름의 소행성은 그의 이름을 딴 것이다.

2.9. 해결하지 못한 의문

경악과 찬사를 받으며 현대수학으로 간신히 증명된[26] 이 정리는 해석학적으로 증명이 되었음을 생각해보면 당시의 수준으로는 증명이 불가능하다. 페르마는 외계인이란 말인가만일 페르마의 대정리가 성립하지 못함을 증명했다면 페르마의 '나는 이거 증명해냈음'이라는 말이 구라라고 결론내릴 수 있겠지만 이렇게 어려운 방법으로 증명이 되었다면 정말로 증명을 해냈는지 아닌지는 여전히 알 수 없으므로, 희대의 떡밥인 "여백이 부족하여 기록하지 않는다"는 여전히 미궁 속에 빠져 있다. 책 한 권 분량이라잖아. 귀찮았겠지

페르마는 자기가 정식으로 그 정리를 증명한 게 아니므로, 금방 자기 증명이 잘못된 것을 발견했더라도 굳이 책 여백에 써넣은 낙서를 수정할 필요는 느끼지 않았다는 추정도 있다.

가장 일반적인 관점은 '오류를 발견하지 못하고 증명했다고 착각했다'는 것. 실제로 n=4 인 경우에 대한 증명은 책에 적혀 있었고, 이 아이디어를 이용하면 n=3 인 경우도 풀 수 있다. 다만, 이 일부의 경우를 증명한 것으로 모든 경우를 다 증명했다고 착각한 것일 수 있다. 아마추어이기도 한 페르마는 취미니까 증명에 그다지 공을 들이지 않는 편이었고, 암산으로 대충 맞으면 맞다고 생각했다. 이래도 '천재'이기에 대부분이 맞아 떨어졌지만, 페르마의 대정리에서는 오류가 있었고, 굳이 종이를 사용해서 증명할 생각도 없었기에 오류를 모르고 넘어갔다는 것.

결국 수백년 동안 수많은 학자들의 노력이 무용지물이었고 현대수학으로 겨우 증명되었기에 4백년 전 인물인 페르마는 증명해내지 못했을 것이라는 쪽이 학회의 전반적인 분위기이다.

하지만 우리의 상상은 어긋날 수도, 어긋나지 않을 수도 있다. 증명을 했든 안 했든 페르마가 생각한 방법을 이제는 알수 없겠지만 전혀 다른 획기적인 증명법으로 페르마의 대정리를 증명했었을지도 모른다. 이 때문에 페르마가 획기적인 다른 방법으로 실제로 문제를 해결했다고 믿는 사람도 있으며, 아직도 페르마가 증명했을 방법을 연구하는 사람도 있다.

사실 증명시킬려고 낚시를 시전한 것일지도 모른다. 결국 증명되었으니 목적 달성

2.10. 우리들의 문제를 돌려줘

와일즈는 증명을 끝낸 후 "새 문제를 만들어주세요."라는 부탁에 시달렸다. 페르마의 대정리를 증명하려던 수많은 사람들이 그 때문에 좌절했던 것.

그래서 나온 것이 밀레니엄 문제다. 이 문제의 선정에는 와일즈도 참여했으며, 수학의 발전을 위해 두둑한 상금도 걸어놓았다고 한다. 수학에 관심이 있다면 도전해보자. 100만 달러가 기다린다.[27] 수학을 모르는 사람들에게도, 이 문제를 푼 사람이라는 매스컴의 보도가 쏟아지고 국위선양했단 기사가 뜨면 어쨌던 관심을 가져줄 것이니, 이 문제를 푼 사람에겐 부와 명예를 가져다주는 셈이다. 뭐어, 푸앵카레 추측을 푼 그 사람처럼 부를 거절할 수도 있겠지만…

3. 이 정리에 대한 말, 말, 말

워낙 악명높은 정리여서 많은 이들이 이 정리에 대해 말을 남겼다.

페르마의 마지막 정리가 증명되기 전에 인류는 멸망할 것이다. by 마지막 문제그러나 멸망은 오지 않았습니다[28]

그런 정리 따위에는 전혀 관심이 없다. 참인지 거짓인지 증명도 안 되는 명제 따위는 나도 얼마든지 만들 수 있다. by 요한 카를 프리드리히 가우스(Johann Carl Friedrich Gauß)[29]

이 문제는 황금알을 낳는 거위다. by 다비드 힐베르트(David Hilbert)[30][31]


4. 새로운 증명

2012년 9월 19일. 일본 교토대학의 모치즈키 신이치(望月新一) 수리해석연구소 교수가 ABC추론을 증명했다고 밝혔는데 이것이 사실이라면 와일스가 증명해낸 방식보다 훨씬 간단하게 풀수 있다고 한다. 그래도 여기에 올릴 수 있을 만큼 여백이 남아돌지는 않는 것 같다관련기사 하지만 모치즈키가 ABC추론을 증명하기 위해 만든 이론인 Inter-Universal Teichmuller Theory는 561페이지에 다다르며 그 내용이 너무나 난해해서 현재 수학계에서 그의 이론을 제대로 이해한 사람이 거의 전무하며 실질적으로는 와일즈의 증명만큼은 어려운 증명이다. 정말로 이해하는 사람이 없어서 이 증명이 공식적인 증명으로 받아들여지고 있지조차 않다.

추가로 포스텍 수학과 소속인 김민형 교수도 위상수학적인 접근방법을 정수론에 이용해서 페르마의 대정리를 증명하는 새로운 방법을 제시했고 이 업적 때문에 한국인 최초로 옥스퍼드 수학과 정교수로 임용됐다.

5. 기타 등등

여담이지만, 뉴욕의 Eighth Street–New York University 지하철역에는 다음과 같은 낙서가 있다. 이것은 와일스 이전에 페르마의 정리를 증명했다고 주장한 미야오카의 기사가 나왔을 무렵에 쓰여진 것이라고 한다.

xn + yn = zn (n>2인 정수)일때 정수해 (x, y, z)는 존재하지 않는다, 나는 획기적인 방식으로 이 정리를 증명했다. 그러나 내가 탈 기차가 오고 있기 때문에 여기 적을 시간이 없다!

참고로 페르마의 소정리(Fermat's Little Theorem)는 페르마의 대정리와는 직접적인 연관은 없다.
페르마의 소정리: 소수 p와 p로 나눠지지 않는 자연수 a에 대해서 a(p-1) 을 p로 나누었을 때 나머지가 1이 된다.
a, p가 서로소, a가 소수(약수가 1과 자기 자신)일 때, ap - a는 p로 나누어 떨어진다.
이는 같은 식의 변형이다.

페르마의 소정리는 오일러의 정리의 특수한 경우로써, RSA 공개키 암호방식은 이 페르마의 소정리에 수학적 기초를 두고 개발되었다. 참고로 오일러의 정리는 오일러의 공식과는 다른 것이다. 참조 : 오일러의 정리 위키백과

17세기의 안알랴줌 이라고 한다.
xn + yn = zn (n>2인 정수)일 때 정수해 (x, y, z)는 존재하지 않는다, 나는 이 정리에 대한 기적적인 증명법을 정말로 발견했지만, 그러나 공백이 적어서 안알랴줌

6. 미디어

여백이 적어서 미디어를 쓰지 못했다.
각종 매체에서 수학정리중 많이 언급되는 명제중 하나다. 다른 명제는 '리만 가설', '골드바흐의 추측'이 있다. 전자의 경우에는 우리의 삶과 관련된 '소수'의 문제이고, 후자는 '문제를 이해하긴 쉬운데 답을 찾기 어려운 경우'이기 때문. 참고로 페르마의 정리도 후자와 같은 경우였지만 증명이 됐다.

수백년 동안 증명이 안 되었었고, 가장 대중매체에 많이 언급된 탓이 큰 듯하다. 증명이 됐다고 발표한 날과 제대로 된 증명이 성공한 날 뉴욕 타임스 대문을 장식하기도 했다. 국내에서는 신문에 작게 기사가 난 것일 뿐이지만.

만화 금색의 갓슈벨에서는 응가 뿡뿡우마곤에게 문제로 냈다가 타카미네 키요마로에게 역관광당했다.(…)

유희왕 ARC-V에서도 등장. 20화의 퀴즈 듀얼에서 라이프를 100, 300같이 적게 걸고 나오는 수학 및 넌센스 퀴즈가 나오는데 뜬금포로 라이프 5,000을 걸고 나오는 "페르마의 대정리를 증명하시오"(…). 여기서 상대인 큐안도 에이타는 그런건 자기는 바로 푼다며 시청하던 이과생들을 격분하게 만들었다. 수학과 이과 관련 문제는 지지리도 모르는(...) 유우야는 당연히 모른다고 답했고, 그대로 유우야의 패배가 되는줄 알았으나...오히려 그 데미지를 에이타가 받게 한 후 역관광을 시전했다.

11대 닥터가 5시즌 1화에서 자신이 페르마에게 1줄을 알려주지 않고 잠들어버린 탓에 페르마가 증명을 완성하지 못했다고 언급한다.그리고 그 다음날 알람을 잘못 맞춰서 페르마가 칼싸움하다 죽었다고 하는 건 덤

2011년, 페르마의 생일8월 17일에 페르마의 대정리가 구글 두들이 되었다.

----
  • [1] 직역하면, "여백의 좁음이 그걸 붙잡지 못한다".
  • [2] 그리고 여백이 부족하다는 것은 후에 실제로 사실이었다고 밝혀졌다. 몰라서 안 적은 것이 아니라 카더라
  • [3] 단, xyz=0을 만족하는 특수한 해의 쌍은 제외된다.
  • [4] Fermat's Last Theorem. 참고로 정수론에서 등장하는 페르마 소정리(Fermat's Little Theorem)는 소문자 l을 써서 FlT라고 쓴다.
  • [5] 간단한 예로 밀레니엄 문제들 중 몇몇은 아무리 쉽게 설명한다고 해도 일반인들은 지문조차도 뭔 소린지 이해하지 못한다. 특히 버츠와 스위너톤-다이어 추측호지 추측은 '일상적인 말'로 도저히 설명을 할 수가 없다.
  • [6] 엄멀히 말하면 페르마의 대정리 자체를 증명했다기 보다는 모듈러 정리가 증명되면서 이와 연관된 부분이 있었던 페르마의 대정리 역시 한꺼번에 증명된 것이다.
  • [7] 어차피 x, y, z에 정수배를 하면 정수해가 된다.
  • [8] 사실 비슷한 무한강하법(어떤 조건을 만족하는 최소의 양수 a가 존재할 때 그 수보다 더 작은 양수 b가 존재한다는 것을 증명함으로써 모순을 이끌어 내는 방법)을 이용하여 모든 n값의 증명을 시도할 수 있다. 다만 이 때 a=b가 되어 버려서 틀린 증명이 된다.
  • [9] 20세기 인물인 리처드 파인만다비드 힐베르트가 현역으로 뛰고 있었을 때도 당당히 존재하던 편견이었다.
  • [10] 소피 제르맹 소수는 p가 소수이고 2p+1이 소수일 때, p가 소피 제르맹 소수라는 것이다. 2p+1은 안전소수라고 한다.
  • [11] 게다가 비정규소수는 무한했다. 그리고 심지어, 정규소수의 무한성은 비정규소수의 무한성보다 늦게 밝혀졌다. 비정규 소수의 비율의 극한은 1-exp(-1/2)이라 한다. 논문의 p115의 "3. The Distribution of Irregular Primes"을 참고하라
  • [12] 볼프스켈은 실연당한 후 자살할 생각이었는데, 자살할 시간을 정해놓고 그 시간이 될 때까지 이 정리를 만지작거리다가 삶의 의미를 되찾게 되었고, 고마움을 담아 볼프스켈 상을 제정하게 된다. 물론 이 증명 때문에 자살한 사람도 있다 증명 하나가 사람을 살리기도 하고 죽이기도 하고
  • [13] 요즘은 모듈러성 정리(Modularity Theorem)로 불린다. 추론(conjecture)에서 정리(Theorem)로 격상된 것.
  • [14] 타원과는 상관 없다.
  • [15] 게다가 실제로도 4차원이다! 시각적으로 아예 표현할 방법조차 없다.
  • [16] 실제로는 1년동안 찾으려고 노력했다. 그러던 도중에 갑자기 영감이 떠올랐다고 한다. 본인은 수학자 평생을 걸어서라도 다시 얻고 싶은 영감이라고 표현했다.
  • [17] 와일즈 교수는 이 증명 논문을 아내에게 생일 선물로 하였으며, 아내는 크게 기뻐했다. 국내에 번역된 사이먼 싱의 '페르마의 마지막 정리'에서는 "그렇게 기뻐하는 아내의 모습은 처음 봤다"고 되어 있는데, 와일즈가 증명을 완성하려고 얼마나 고생했는지, 얼마나 질문공세에 시달렸는지를 옆에서 지켜본 아내이니 그래야 정상이다.
  • [18] 사실 와일즈가 석사과정에 입문할 때부터 매우 극적인 우연들이 겹쳐서 만들어낸 걸작이다. 물론 그의 집념과 능력이 가장 중요한 것이었음은 부정할 수 없으나 이전의 다른 선구자들과 같이 그 우연이나 운에서 무언가를 건져내는 능력 또한 높게 평가할만 하다.
  • [19] '수학소설'이다. 일본에서 의외로 유명한 소설인데 만화판로 나오기까지한 유명한 소설. 우리나라에는 1,2권만 번역됐는데, 1권은 '수학걸'이라는 제목이며 2권이 이 책이다. 근데 의외로 재미있다. 그리고 주인공 미르카는 고등학생인데 대학원생도 모르는 개념을 이해하고 있다. 뭐!?
  • [20] 역자든 저자든 2권이 더 쉽다고는 하는데, 문제풀이 위주의 수학을 배우는 우리는 1권이 더 쉽다. 2권은 확실하게 이해위주이기 때문.
  • [21] 이 다큐멘터리는 나중에 <The Proof>라는 제목을 달게 되었다. '그' 증명이라고 불리는 것만으로도 얼마나 위대한 증명인지 알 수 있을 것이다.
  • [22] 그럴 수밖에 없다. 1993년에 와일즈가 처음으로 증명을 공개했을 때, 그는 뉴욕 타임스를 비롯한 세계 각지의 신문 1면을 장식했으며 1년 후 완벽한 증명을 완성했을 때도, 볼프스켈 상을 탔을 때도 그랬다. 페르마의 마지막 정리를 증명한 것이 얼마나 충격적이었는지 보여주는 사례다.
  • [23] Knight Commander of Order of the British Empire. 약자는 KBE이며 이것을 받은 사람은 기사작위도 수여받는다.
  • [24] 1등급이 아니라는 점에 의아함을 느낄 수도 있겠으나, 대영 제국 훈장은 정원수가 존재한다. 즉, 1등급 정원이 꽉차서 어쩔 수 없이 2등급을 받은 것. 1등급으로 올라갈 가능성이 가장 유력한 사람이라는 의미기도 하다. 그리고 2등급을 무시하면 안되는 것이 빌 게이츠가 PC 보급의 공로를 인정받아 2등급 명예훈장이다.
  • [25] 두번이나 언급되었다. 그런데 언급된 경위가 좀 웃긴게, The Next Generation 시리즈에서 주인공인 피카드 선장이 "800년째 증명되지 않은 정리"라면서 자기도 취미 삼아서 증명을 해보고 있다고 언급한 적이 있었는데, 해당 에피소드의 방영일은 89년도라… 93년에 와일즈가 증명해냈단 소식이 들리자마자 트레키들의 성화가 빗발쳤던 것이다. 결국 후속작인 Deep Space Nine에서 와일즈의 이름을 직접 언급하면서 와일즈와는 다른 방법으로 다들 300년째(…) 증명을 찾고 있다고 해명해야 했다. 어찌 되었든 과학과 수학의 발전은 대중매체가 상상하는 것보다 빠름을 보여주는 또다른 예가 되었다.
  • [26] 모듈러성 정리가 필요하다.
  • [27] 상금이 큰 이유는 이게 떡밥이기 때문이다. 더 많은 사람들이 수학에 관심을 가지도록 하기 위해서라고.
  • [28] 페르마의 마지막 정리를 소개한 수많은 책들 중 하나이다. 이 책을 읽고 분노한 독자 중 한 사람이 바로 앤드류 와일즈.
  • [29] 19세기 최고의 수학자. 그의 친구가 페르마의 마지막 정리를 보여주며 "이걸 풀 수 있는 건 아무래도 자네 밖에 없을 것 같아"라고 하자 돌아온 말이다. 이 반응에 대해서는 과거에 이 문제를 풀려다가 실패했다는 설과, 문제의 난이도가 너무 높은 걸 알고 현명하게도 회피했다는 등의 설이 있다.
  • [30] 20세기 초의 위대한 수학자로, 완벽한 수학체계를 만들기 위해 노력했지만 불완전성 정리 때문에 실패하고 말았다. 페르마의 마지막 정리를 증명할 것을 권유하자, 그는 "실패할 게 분명하다"는 이유로 거절한 바 있다.
  • [31] 그가 페르마의 마지막 정리를 '황금알을 낳는 거위'로 비유한 건, 페르마의 마지막 정리 증명을 위해 개발된 수 많은 이론들 때문이다. 대수학의 환론에서 중요한 개념인 이데알도 FLT를 해결하기 위한 도구였으며, 소개되었던 쿰머의 정규 소수 개념도 그렇다. FLT에 낚여서 수학자가 되는 인재가 많았기 때문이라고 하기도 하고, 우스개 소리로는 FLT에 붙은 상금이 은행에 있는 동안 생겼던 이자 때문이라고 하기도 한다.
  • [32] 와일스의 지도교수였으며, 자기 제자가 페르마의 마지막 정리를 증명하는 강연을 직접 듣게 된다.
Valid XHTML 1.0! Valid CSS! powered by MoniWiki
last modified 2015-03-26 20:35:08
Processing time 0.2259 sec