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10진법

last modified: 2015-04-13 17:40:54 by Contributors

Contents

1. 개요
2. 십진법에 대한 평가
3. 십진법의 수학적 특징
4. 십진 위치 기수법의 열가지 숫자와 용례(?)

1. 개요

十進法, decimal system

현대의 거의 모든 인간들이 기본적인 일상생활을 하면서 사용하는 진법이다. 사람이 컴퓨터를 쓰긴 하지만 사람이 2진법을 계산하는건 아니잖아 하지만 컴공과라면 16진법을 쓸 가능성이 높지 세상엔 수많은 가지각색의 언어가 존재함에도 불구하고 10진법은 거의 전세계 수준으로 통일되어 있다.
열 배 혹은 10의 거듭제곱 배가 될 때마다 단위가 올라가는 방식으로 수를 나타내는 표현방법이다.

10개의 숫자를 가지고 수를 표현하는 방법이라고 착각하는 사람들이 있는데, 이는 십진법이 아닌 십진 위치 기수법(decimal positional notation)에 대한 이야기이다. 위치 기수법이 발명되기 전에도 십진법은 있었다. 다만 10개 훨씬 넘는 숫자가 필요했을 뿐이다. 예를 들어 한자, 이집트 숫자, 로마 숫자를 생각하면 된다.

2. 십진법에 대한 평가

10은 약수가 1, 2, 5, 10에 불과하기에 단위로 쓰기엔 불편한 점도 있다.[1] 이런 부분에 있어서 10진법보다 12진법이 실생활에 유리하며, 실제로 상당수의 단위들이 12진법을 사용한다. 시간이나, 다스, 야드파운드법의 피트-인치가 12진법 활용의 대표적 사례. 16진법도 12진법만큼은 아니지만 10진법에 비해서는 편리하다. 바빌로니아의 수메르인이 괜히 60진법을 고집한게 아니었다!!

이렇게 편리한 숫자들이 있음에도 불구하고 10진법이 세계적으로 정착된 이유는 인간의 양 손의 손가락이 10개이기 때문이다. 인간이 손가락으로 표현할 수 있는 가장 큰 수가 10이므로 자연스럽게 상당수의 단위가 10을 묶음으로 형성되었다. 손가락이 n개였다면 자연스럽게 n진법이 정착되었을 것이다. 만약에 발가락까지 숫자를 센다면 우리는 20진법을 사용했겠지[2]

하지만 여러 나라의 문화를 보면 몸을 이용해서 수를 세는 것도 꼭 손가락 10개를 꼽는 방법만 있는 것은 아니었다. 어떤 부족은 손가락 사이의 틈을세서 8진법을 쓴다고 한다. 손가락으로 2진법을 쓰는 것도 익숙해지면 어렵지 않을 것이다. 손가락마다 자릿수를 매겨서 접고 펴는걸로 1,0을 구별하면 양손으로 0~1023 또는 1~1024까지 셀 수 있다. 4, 128, 132는 함부로하면 곤란하다.

현재 대부분의 단위가 10진법으로 통일되었기 때문에 다른 진법이 불편한 것은 어쩔 수 없다. 그러나 다시 말하자면 10진법이 습관이 돼서 그런것으로, 12진법과 60진법으로 표현되는 시간을 10진법으로 환산하다 혼란이 오는 것과 마찬가지이다.[3]

2014년 현재는 컴퓨터의 발달로 10진법이나 12진법이나 다를게 없고 바꾸는데 드는 혼란은 크므로 이제와서 10진법을 버릴 일은 없을 것이다. 왜냐하면 인류가 12진법이나 16진법으로 바꾸게 되면, 많은 사람들의 반발을 우려할 뿐만 아니라 숫자의 표기부터 해서 지구상에 숫자가 붙은 모든 것(책, 전자제품, 제품, 간판 등)을 바꾸어야 하기 때문에, 천문학적 비용이 들기 때문이다.

3. 십진법의 수학적 특징

십진법에서는 10의 약수가 1,2,5,10이고, 소수가 2,5이기 때문에, 이들만을 곱셈으로 조합한 숫자2l ×5m (l,m 은 자연수)를 분모로한 기약분수는 분모를 10n (n은 자연수)꼴로 나타낼 수 있기 때문에 유한소수가 된다. 다시말해 기약분수꼴일때 2, 5외의 소인수가 분모에 있으면 그 수는 순환소수. 그리고, 2와 5는 밀접한 관계가 있으며 대략적으로 다음과 같은 성질이 있다.

  • 1÷2n 은 5n ÷10n 이다.
  • 1÷5n 은 2n ÷10n 이다.
  • 2a ×5b 에서 a<b 이면, 그 값은 5(b-a) ×10a 이다. 예) 23 ×54 =5×1000=5000
  • 2a ×5b 에서 a=b 이면, 그 값은 10a 이다. 예) 25 ×55 =(2×5)5 =100000
  • 2a ×5b 에서 a>b 이면, 그 값은 2(a-b) ×10b 이다. 예) 24 ×51 =8×10=80

4. 십진 위치 기수법의 열가지 숫자와 용례(?)

십진 위치 기수법에서는 단 10개의 숫자(자릿수, digits)[4] 만을 사용한다.

인도-아라비아 숫자 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
한자[5]
갖은자
아랍 숫자 ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
크메르 숫자[6]

과거 위 숫자들에 대해 3은 최초의 홀수의 소수인 수라느니 6은 최초의 완전수라느니 하는 전혀 무관계한 주석이 잔뜩 달려 있었는데, 예를 들어 3은 십진법으로 나타내든 백진법으로 나타내든 최초의 홀수인 소수이다. 즉 그런 내용은 십진법과 아무 관계가 없다. 아마 수와 숫자를 착각했기 때문인 듯하다. 아래에는 자릿수로서의 0~9에 대한 내용만 추가하기 바란다.

  • 0은 위치 기수법 자체를 가능케 하는 숫자이다. 십진법이 개발된 한참 뒤에 생겼다.
  • 2가 정수의 일의 자리에 올 경우 2의 배수, 즉 짝수임을 알 수 있다. 4, 6, 8, 0도 마찬가지.
    • 2의 거듭제곱은 일의 자리가 2 → 4 → 8 → 6 → 2 → … 순으로 순환한다. 당연하지만 8의 거듭제곱은 거꾸로.
  • 3: 3의 거듭제곱은 일의 자리가 3 → 9 → 7 → 1 → 3 → … 순으로 순환한다. 당연하지만 7의 거듭제곱은 거꾸로.
  • 4는 한자 문화권에서는 죽을 사(死)와 발음이 비슷하다고 하여 금기 취급을 받는 안습한 숫자. 예를 들어 아파트에 4호 라인이 없거나, 병원에서 4층 대신 F층이라고 쓰는 등이다. 군대 편제에서도 4를 사용하지 않으나, 이는 여순사건 등의 다른 이유가 크다.
  • 5가 정수의 일의 자리에 올 경우 5의 배수임을 알 수 있다. 0도 마찬가지. 또, 5의 거듭제곱은 항상 일의 자리가 5로 끝난다. 5×5=25이기 때문.
  • 6: 6의 거듭제곱은 항상 일의 자리가 6으로 끝난다. 6×6=36이기 때문.
  • 8은 중국에서는 八(ba)와 发(fa)의 발음이 비슷해서 아주 길한 수로 여긴다. 그리고 가격을 900원, 990원으로 끝나게 맞추는 것도 각박해 보이기 때문인지 800원, 980원으로 끝나게 만드는 경우도 많이 있다.
  • 9는 한 자리에서 표기할 수 있는 최대의 숫자이다.
    • 십진법의 특성상 9와 10을 비교하면 9는 뭔가 불완전해 보이고 10은 안정되어 보인다는 통념이 있다.
      야구에서 2할 9푼 타자와 3할 타자의 차이나, 남자 키 179cm<<<<180cm여자 키 169cm<<<<170cm처럼 한 끗 차이인데도 뭔가 다르게 느껴진다.
      같은 이치이나 반대로, 가격을 매길 때는 000원으로 끝나기보다는 900원, 990원으로 끝나는 쪽을 더 선호한다.
    • 나이에서, 일의 자리수가 9인 나이를 가진 사람은 나이 언급을 상당히 싫어하는 편이다. 대한민국에서는 주로 20대에서 많이 보인다.
    • 성적에서 가장 큰 자릿수가 9에 근접하면 좋은 성적이 된다. 많은 교육기관에서의 시험 성적처럼 두자리 숫자로 점수를 받을 때는 평균 90 이상, 토익처럼 세자리 숫자로 점수를 받을때는 900점 이상을 받기 위해 오늘도 많은 사람들이 열심히 공부하고 있다.

그 밖에 다음과 같은 것들이 있다.
  • 사사오입이란 반올림에 있어서 (0부터 )4까지는 버리고 5부터( 9까지)는 넣는다는 뜻이다.
  • 0부터 9까지를 둘로 가를 때는 위 사사오입과 마찬가지 취지로 0~4는 초반, 5~9는 후반으로 보는 경우가 많다.
  • 셋으로 가를 때는 1, 2, 3은 초반, 4, 5, 6은 중반, 7, 8, 9는 후반으로 보는 경우가 많다. 예를 들어서 110만 원은 백만 원 초반, 150은 백만 원 중반, 190만 원은 백만 원 후반 이런 식이다.
    한편 나이에 있어서는 0도 포함되는 관계로 ㅅ받침이 붙으면 중반, ㅂ받침이 붙으면 후반이라 하여 0, 1, 2는 초반, 3, 4, 5, 6은 중반, 7, 8, 9는 후반으로 보는 견해도 널리 퍼지고 있다.
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  • [1] 10개의 사과를 3명 혹은 4명에게 나누어 줄 때 인원수에 맞게 나누어 떨어지지 않는다.
  • [2] 베르나르 베르베르의 소설 개미의 설정을 보면 여기서 개미들은 12진법을 사용하고 있다고 한다. 개미의 각 다리에 2개의 발톱이 달려있어 2(발톱)X6(다리 숫자)=12가 되기 때문.
  • [3] 물론 단련된 사람에게는 그리 어렵지도 않다.
  • [4] 모든 ‘숫자’가 digits라는 뜻이 아니다. Digits는 자릿수로 번역함이 적절하다. 다만 십진 위치 기수법을 너무나도 일반적으로 사용하는 현 상황 하에서 아래 10가지 자릿수만 가지고 모든 수를 숫자로(기호로) 다 나타낼 수 있기 때문에 10가지 자릿수만을 숫자라고 일컫기 한다. 예를 들어 숫자를 처음 배울 때 그러하다.
  • [5] 동그라미가 아니고 U+3007이다.
  • [6] 타이 숫자, 라오 숫자가 여기서 나왔다.
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